初中数学沪科版八年级下册17.1 一元二次方程教学设计

第19章 一元二次方程  教案

教学目标：

1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．

2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．

3、进一步培养学生快速准确的计算能力．

4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力．3．进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力．

教学重点：

一元二次方程的解法及判别式．

教学难点：

配方法．

教学过程：

本节课是一堂复习课，复习的内容是一元二次方程的解法及根的判别式．

1．熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点，解法有四种，一种是直接开平方法，它以平方根的概念为基础．适合于形如（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0）类型的方程．第二种方法是配方法，用配方法推导求根公式，由此产生了第三种方法即公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法．第四种方法是因式分解法，适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程．由此可归纳出解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．

一元二次方程根的判别式的意义在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知值的取值范围．由此可以启发学生运用数学知识，提高分析问题和解决问题的能力．

一、知识点：

复习提问，总结12．1-12．3的内容．

启发引导，总结12．1-12．3节所学过的知识点及它们之间的相互联系和相互作用．培养学生归纳、总结的能力．

二、课堂练习：

练习1．下列方程中，哪些是一元二次方程？

（2）（x＋3）（x-3）＝0；

（4）2x2-y＋2＝0；

（5）（2x-1）（x＋3）＝2x2＋1；

（6）（m-1）x2＋3mx-m＝0（m≠1的常数）．

学生口答，相互评价，强调判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是不是一元整式方程．在此前提下，通过去括号、移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最高次数是不是2．

练习2．写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项．

（1）（3x-1）（x＋1）＝6-（x-2）2，

（2）关于x的方程kx2＋2kx＝x2-k-3（k≠1）．

学生笔答、板书、评价．

注意以下两点：

（1）必须将一元二次方程化成一般形式．

（2）二次项系数通常化为正数，各项系数包括它的符号．

练习3．解下列方程

（1）3x2-48＝0                                （直接开平方法）；

（2）（x＋a）2＝225                         （直接开平方法）；

（3）2x2＋7x-4＝0                            （配方法）；

（4）2x2-x＝5                                （公式法）；

（5）（3x-1）2＝6x-2                        （因式分解法）；

（6）abx2＋a2x-b2x-ab=0                      （因式分解法）；

学生板书、笔答，教师点拨．

和学生一起回忆配方法和公式法的步骤，直接开平方法，因式分解法解一元二次方程，体现了“转化”和“降次”的思想方法，即把二次方程转化为一次方程求解，通过开平方和因式分解达到“降次”．

练习4．选择适当方法解下列方程

（2）5x2-7x＋1＝0；

（3）4x2-5x＋1＝0；

（4）4（x＋2）2-9（x-3）2＝0．

分析：

用什么方法解方程，主要依据方程的特点．

（1）可用直接开平方法，也可用因式分解法．

（2）可用公式法和配方法．

（3）可采用因式分解法．

（4）可采用直接开平方法和因式分解法．

分析完毕，学生板书，笔答，评价．最后总结如下结论：解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．

练习5．

1．求m为什么实数时，方程（m-1）x2-6x＋3＝0．

①有实数根；②没有实数根．

引导学生分析：由于二次项系数是m-1，当m-1＝0时，方程为一元一次方程；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，据题意，要根据这两种情况分别议论．

解：（1）当m-1＝0，即m＝1时，原方程为-6x+3＝0，

即当m=1时，方程有实数根．

当m-1≠0，即m≠1时，原方程的根的判别式为

Δ=（-6）2-4×3（m-1）＝48-12m，

由Δ=48-12 m≥0，得m≤4．

∴  当m≤4且m≠1时原方程有两个实数根．

综上所述，当m≤4时，原方程有实数根．

（2）当Δ=48-12 m＜O，即m＞4时，原方程没有实数根．

2．求证：关于x的方程x2-（k＋4）x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根．

分析：利用“Δ”证明方程根的情况，首先应把方程化成一般形式，写出根的判别式的代数式，然后利用因式分解法或配方法来确定判别式的符号，进而得出结论，本题只需证明对于任意的实数k都有Δ＞0即可．

分析完毕，学生板书、笔答，评价．

三、课堂小结：

1．本节课复习的主要内容

2．通过本节课的学习，能选择恰当的方法解一元二次方程，更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力，更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法．

四、作业：

1、同步测试．

2、（1）已知：关于x的方程kx2+2（k-3）x+k+2＝0有两个实数根，求k的取值范围．（2）已知：a，b，c为一个三角形的三条边，且方程b（x2-1）-2ax＋c（x2+1）＝0有两个相等的实数根，求证这个三角形是直角三角形