沪科版八年级下册17.3 一元二次方程的根的判别式教学设计及反思

一元二次方程根的判别式

一、教学目标

   【知识和技能】

       1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；

   2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 　

   3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.

   【过程和方法】

       1.培养学生的探索、创新精神；

       2.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.

   【情感态度价值观】

       1.向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；

       2.加深师生间的交流，增进师生的情感；

       3.培养学生的协作精神.

二、教学重点、难点

    教学重点：会用判别式判定根的情况，用根的判别式解决实际问题.

    教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

三、教具准备  多媒体课件

四、课时安排 （1课时）

五、教学过程

<一> 复习提问

       1、一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项.

       2、解一元二次方程的方法.

          一元二次方程的求根公式：

<二> 设置悬念，进入新课

    同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程,那么，现在丁老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我．

（学生会争先恐后地编题考老师．）

    你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘．

用公式法解一元二次方程:

       ⑴x2+3x+2=0        ⑵ x2+8x+16=0       ⑶3y2+10=2y

 注：找三名学生板演，其余学生在位上做．

（学生都会在积极解答，寻找其中的奥秘．）

<三> 启发引导，发现结论

    请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出x1,x2，b2-4ac在解方程起着重要的作用，显然我们可以根据b2-4ac的值的符号来判断一元二次方程的根的情况，因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=b2-4ac．

    我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美．

    通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？

    我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：　

① 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

② 当△＝0时，方程有两个相等的实数根

；

③ 当△＜0时，方程没有实数根．

    课本中“上述判断反过来说，也是正确的”这句话可以理解为原命题的逆命题是正确的.

① 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0；

② 若方程有两个相等的实数根， 则△=0；

③ 若方程没有实数根， 则△＜0．

    原命题与逆命题的用途不同:

    原命题的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用原命题来判断方程根的情况．

    逆命题的用途是：在已知方程根的情况下，用逆命题来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围．

注意运用原命题与逆命题时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用．

<四>应用新知

例1 不解方程，判断一元二次方程的根的情况

 ⑴    ⑵     ⑶  

解：

      ⑴ 这里a=5，b=-3，c=-2，△=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根．

  ⑵ ⑶ 两名学生板演，其余学生在位上做．

例2 当取何值时，关于的方程

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？ 

解：

（1）当，即时，方程有两个不相等的实数根.

（2）当，即时，方程有两个相等的实数根.

（3）当，即时，方程没有实数根　

例3 当取何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）.

分析：利用一元二次方程的根的判别式来判断.

解:

原方程可化为：

    当时，即时，方程有实数根.

这时，方程的根是，

即

教学结论：判定含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△=－4ac的值；根据根的判别式，写出结论．

 【说明】解字母方程是学生学习的薄弱处，在教学中应加以重视.

试一试：

     如果关于x的一元二次方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有实数根，那么k的取值范围是什么？(由学生完成解题过程后，教师评价.)

实系数一元二次方程有实数根必须具备两个条件：（1）；（2），两者不可缺一，但在实际应用时，学生往往会忽视的情况，在教学时应引起注意.

<五> 课堂练习    P32  练习 1、2

<六> 小结与评价

1.本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？

2.本节课你有什么收获？还有什么疑问?

<七> 布置作业   P33  1、3、4

六、板书设计（略）

七、教学反思