初中数学沪科版八年级下册17.2 一元二次方程的解法教学设计

17.2 一元二次方程的解法

教学目标：

掌握了解一元二次方程的四种方法以及各种解法的特点，会根据不同方程的特点选用恰当的方法，从而准确、快速地解一元二次方程。

重点：会根据不同方程的特点选用恰当的方法，准确、快速地解一元二次方程。

难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的数学思想。

教学过程：

一、介绍本节课的重要性，出示教学目标。

教师口述：同学们，我们本节课一起来复习一元二次方程的解法。一元二次方程在中考中占有比较重要的地位，通过本节课的复习，我们要掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的特点，会根据不同方程的特点，选用恰当的方法，从而准确、快速地解一元二次方程。

二、检查课前练习完成情况，并讨论，讲解课前练习题

让五名同学分别回答课前练习题1――5小题的答案。

若有错误，让学生进行指正。

三、讲解四种解法的特点

（1）提问一名学生是如何来完成课前练习第2题的。

易化为方程X2=a（a≥0）（其中X代表未知数或含有未知数的一次代数式，a代表常数）适合用直接开平方法来解。

用此法解方程时，一边整理成未知数的平方X2=a（a≥0）或含有未知数的一次代数式的平方的形式（mx+n）2=p（p≥0），另一边为常数，常数不能小于0，然后利用开平方根的定义进行开方，开方时，应注意 X=±,不要丢掉正负号。

为了方便学生记忆，总结了一个顺口溜：

直接开方不万能，条件符合也能行，

一边开方一边常，然后开方就能行，

开方时，要注意，正负符号要弄清。

（2）提问学生如何来完成课前练习第3题

在学生回答的基础上，指出配方法是直接开方法的“升级版”，

1、先把二次项系数化为1，再把常数项移到等号的另一端。

2、接着在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方。

3、最后进行开方。

为了方便学生记忆，总结了一个顺口溜：

配方法，可通用，配方过程可不轻，

一化二移三配方，然后开方才能行，

配方时，要注意，同加一系半之方。

（3）提问学生如何完成课前练习第4题、

在学生回答的基础上，回顾推导求根公式的过程，让“公式法”：请填写出求根公式                    

公式法是“盗”用了配方法的结果，在应用公式法来解一元二次方程的过程中：

1、应先把一元二次方程化为一般式，即

2、再求出判别式的值，

当时，                           ，

当时，                           ，

当时，                           。

判别式的值大于或等于零时才有实数解，要强调熟记公式。

3、代入公式求值，

为了方便学生的记忆，总结了一个顺口溜：

公式法，虽万能，记准公式才能行，

用时先化一般式，ab和c要弄清，

还有一个判别式，小于零了可不行。

（4）提问学生如何完成课前练习第5题

因式分解法解一元二次方程的理论依据为：若A×B=0，则A＝0或B＝0。

在用因式分解法解一元二次方程时，应把一端化成乘积的形式，先看有没有公因式，如果没有公因式，再看是否可用完全平方公式或平方差公式，或者是十字相乘法，为了方便学生的记忆，总结了一个顺口溜：

因式分解很简单，一端乘积一端零，

用时先把因式找，再看公式通不通，

这个方法不万能，用时看准才能行。

在总结完四种方法的特点之后，指出直接开平方法、配方法、公式法都是利用开方来对一元二次方程进行降次的，而因式分解法是利用了两数乘积为零则至少有一数为零进行降次的，虽然降次的原理不一样，但都是利用了降次的数学思想来解一元二次方程。

四、讲解例题

首先分析四道例题的特点，让学生分别总结出四道例题用什么方法来解决比较好，然后让四名学生进行板演，其余同学分组完成，男生从前往后做，女生从后往前做，在黑板上的同学做完后，讲解、分析完成的情况，讲解时应注意强调做题的格式，特别强调在第（4）题中，未知数为y，不要写成x。第（2）题中，二次项系数为1，一次项系数较小，而常数项的绝对值较大，适合用配方法完成，当然也可以用公式法，没有完成的题目让学生下课完成。

五、完成课堂练习

让学生完成课堂练习题  程度较差的同学完成1――4题，

程度中等的同学完成1－5（1）（2）（3）（4），

程度较好的同学全部完成。

让八名同学板演5题，每人一道解方程。

学生板演完后进行讲解，没做完的下课完成。

六、布置作业：

配套练习册，相关解方程的题目。

“一元二次方程的解法”复习课练习题

课前练习：

1、把方程（x+2）（x-3）=-5化为一般形式是                       。

2、方程2 x=8的根是                        ；

3、方程x-2x+1=4的根是                        ；

4、方程x-x+1=0的根是                        ；

5、用               法解方程（x-2）=2x-4比较简便。

方法小结：（观察和总结第2、3、4、5题）

一元二次方程的四种方法，同学们通常是如何选择的呢？你能总结一下吗？

（1）“直接开平方法”：（2） “配方法”：（3）“公式法”：（4）“分解因式法”：

例题学习：用适当的方法解下列方程。

（1）  2（x-5）-32=0              （2）  x+2 x -399=0      

（3）  5 x（x-3）=2 x -6                      （4）2y+4 y=1

三、课堂练习

1、已知一元二次方程的两根是x = -3，x = 4，则这个方程可以是（     ）A、（x-3）（x+4）=0               B、（x+3）（x+4）=0        

C、（x-3）（x-4）=0               D、（x+3）（x-4）=0

2、一元二次方程x-3 x=0的根是（      ）

A、0           B、0或3          C、3         D、0或 -3

3、方程2 x（x-3）=5（x-3）的解是（     ）

A、x =       B、x =3     C、x =3 或x =        D、 x = 

4、用配方法解一元二次方程x+8 x+7=0，则下列方程变形正确的是（    ）

A、（x-4）=9    B、（x+4）=9   C、（x+8）=57    D、（x-8）=16

5、解下列方程：

（1）4（x+3）=100                 （2）3 y+10 y+5=0

（3）x+4 x-896=0                （4）7 x（5 x-2）-6（2-5 x）=0

（5）x-2 x-3=0                      （6）（x+2）2=（2x-4）2

（7）3 x（x-1）=2-2 x                  （8）27-3（x+2）=0

课后练习题;

一、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围。

二、用配方法证明，不论x取任何实数时，代数式x2-5x+7的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？

三、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、         2、            3、

4、           5、        6、

7、          8、               9、

10、         11、           12、