初中数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质教案及反思

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第2课时　相似三角形的应用教学目标1．进一步巩固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重难点运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．教学过程导入新课【导语一】 1.判定两三角形相似有哪些方法？2．相似三角形有什么性质？【导语二】 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．金字塔原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化腐蚀，所以高度有所降低．埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度．在一个烈日高照的上午，他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下，他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德．给你一条2米高的木杆，一把皮尺，你能利用所学知识来测出塔高吗？推进新课一、合作探究 【问题1】 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.【问题2】 如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB.分析：由于太阳光是平行光线，因此∠OAB＝∠O′A′B′.又因为∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，所以△OAB∽△O′A′B′，OB∶O′B′＝AB∶A′B′，OB＝＝＝137(米)，即该金字塔高为137米．点拨：在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．【问题3】 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.解法一：此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.因为∠ADB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°，所以△ABD∽△ECD.那么＝，解得AB＝＝＝100(米)．答：两岸间的大致距离为100米．解法二：我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点D和E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C.此时，测得DE，BC，BD，就可以求两岸间的大致距离AB了．此时如果测得DE=120米，BC=60米，BD=50米，求两岸间的大致距离AB.点拨：通过解决测量问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生探究解决问题的方法．【问题4】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树的根部的距离BD＝5 m，一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?分析：AB⊥l，CD⊥l⇒AB∥CD，△AFH∽△CFK＝，即＝＝，解得FH＝8.点拨：关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路．二、巩固提高1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)3．如图，小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？三、拓展延伸1．数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8 m点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.8 m，观察者目高CD＝1.6 m；方法二：如图，把长为2.40 m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80 m，标杆影长为1.47 m.分别根据上述两种不同方法求出树高(精确到0.1 m)．2．怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度？本课小结1．在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的．2．利用太阳光测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决：物高1∶物高2＝影长1∶影长2.相似三角形在物理学上的应用相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相似三角形在物理学上的实际应用．【例1】 如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将(　　)．A．变大    B．变小    C．不变   D．无法判断解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O为支点，以F为动力，以电线杆重力G为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA，阻力臂OB是逐渐变化的．∵AA′∥BB′，∴△OBB′∽△OAA′.∴＝.而是定值，即也是定值．由杠杆平衡条件F·OA＝G·OB，得F＝G·.因此，动力F大小不变．故选C.答案：C【例2】 小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l.解：由相似三角形可知△ABO∽△A′B′O，△AEO∽△A′FO.∴＝，＝.∴＝＝.∴＝，＝.∴OE＝EF＝l.故小孔纸板应放在距蜡烛l处．奥赛链接1．如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分(即S1＝S2＝S3)，且DE∥FG∥BC，BC＝，FG－DE等于(　　)．A．－1      B．－C．－     D．2－解析：由相似三角形的性质，得DE∶FG∶BC＝1∶∶.设DE＝x，FG＝x，BC＝x，则x＝.∴x＝.∴DE＝，FG＝2.∴FG－DE＝2－.答案：D2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝CD＝1，又E，D为CB的三等分点．(1)问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说明理由；(2)比较∠ADC与∠AEC＋∠B的大小，试说明理由．解：(1)存在△ADE∽△BDA.证明：∵AC＝CD＝DE＝EB＝1，又∠C＝90°，∴AD＝.则＝＝，＝.∴＝.而∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA.(2)由(1)知△ADE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B.又∵∠ADC＝∠AEC＋∠DAE，∴∠ADC＝∠AEC＋∠B.