初中数学沪科版九年级上册22.1 比例线段教学设计

第3课时　平行线基本定理

教学目标

1．理解平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．

2．会利用平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理求一些线段的长．

3．了解将已知线段n等分的方法．

教学重难点

平行线分线段成比例的几种类型及应用．

教学过程

导入新课

在记录本上任画两条斜线，让这两条斜线与本子上的三条平行线相交，度量这两条斜线被本子上的三条平行线分成的四条线段，它们成比例吗？

推进新课

一、合作探究

【问题1】 如图，过△ABC的边AB上任意一点D作直线DE平行于BC交AC于点E，分别度量在AB上截得的两条线段AD、BD和在AC上截得的两条线段AE、EC的长度，与相等吗？

学生自己画图，再动手测量(要求测量要尽量准确)，看计算与的结果是否大致相等．(结果：大致相等)

【问题2】 任意平移DE，再度量AD，BD，AE，EC的长度，与还相等吗？

度量后回答．(结果仍相等)

然后让学生合作探究学习课本上的证明，教师给予指导．

【问题3】 如把上面的问题改为：

如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5，与相等吗？

让学生试着转化为问题1的类型进行说明．

最后师生共同归纳出定理：

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．

【问题4】 当直线l1，l2的位置变化时，如图，直线l1、l2分别被三条平行线l3、l4、l5截于点A、B、C和D、E、F.问与相等吗？

教师引导学生进行证明，引导作出辅助线是关键．

证明后得出平行线分线段成比例定理：

两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．

【问题5】 在问题4中若AB＝BC，那么DE与EF有何关系？

显然＝1，又＝，所以＝1，故DE＝EF.

于是得到平行线等分线段定理：

两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．

二、巩固提高

【例】 如图，在△ABC中，DE∥BC，写出图形中的比例式，试试你能写出多少个？

解：根据平行线分线段成比例定理，有＝，＝，＝，＝等．只要写出的比例式左右对应即可．

三、随堂训练

已知在∠O的一边上顺次有A，B两点，在另一边上顺次有C，D两点，若AC∥BD，则正确的是(　　)．

A．＝　　　　　B．＝  C．＝    D．＝

本课小结

1．平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．

2．利用平行线等分线段定理对线段进行等分、倍分．

3．无论是平行线分线段成比例定理，还是平行线等分线段定理，一定至少要有两条平行线．

1．对相似多边形的理解

两个边数相同的多边形，如果对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似．相似具有传递性．

因此判断两个边数相同的多边形相似的方法是：首先判断对应边是否成比例，再判断对应角是否相等．两个等边三角形一定相似，两个等腰直角三角形一定相似，两个正方形一定相似，但所有的菱形不一定相似，因为对应角不一定相等．

2．相似与全等的联系和区别

相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说，(1)它们都具备“形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k＝1；反过来，当相似比k＝1时，两个相似形全等．

3．相似符号的起源

最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的，是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以体现．早期人类对几何的兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何知识的运用，几何知识随着人们的实践活动而不断扩展．

十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“＝”，他在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等，这就是相似符号的起源．

4．对“黄金分割”的理解

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：

≈1.618，≈0.618.

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．

一个很能说明问题的例子是五角星．五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．正五边形对角线连接后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．

由于五角星的顶角是36°，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin 18°.

黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比约等于0.618∶1.线段上有两个这样的点．

利用线段上的两个黄金分割点，可作出正五角星，正五边形．

2 000多年前，古希腊雅典学派的欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比．

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法．

其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．

黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．

黄金矩形(Golden Rectangle)的长、宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子．达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．