沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用教学设计

这是一份沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用教学设计，共6页。教案主要包含了合作探究，巩固提高，达标训练等内容，欢迎下载使用。
第4课时　解直角三角形的应用教学目标1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决．3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．教学重难点理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题．教学过程导入新课长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程．放眼世界，从大海深处到茫茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列．它不仅将为我国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献．这节我们将学习水库大坝的有关问题．推进新课一、合作探究【问题1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD＝AE＋EF＋FD，AE，DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF＝BC＝6 m，从而求出AD．以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生的运算能力．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.333 3，查表得α≈18°26′.AB＝BE÷sin α＝72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.在求AB时，也可由＝及勾股定理得出BE∶AB＝1∶，∴AB＝23≈72.7(m)．【问题2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米)给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程．让一名学生上台板演．二、巩固提高利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶0.5，渠道底面宽BC为1米，求：(1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积；(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题．(2)要求等腰梯形ABCD的面积，首先要求出AD，如何利用条件求AD?(3)土方数=等腰梯形ABCD的面积×100.解：(1)∵渠道内坡度为1∶0.5，渠深BE为0.6米，∴AE=0.5×0.6=0.3(米)．∵等腰梯形ABCD，∴FD=AE=0.3(米)．∴AD=2×0.3+1=1.6(米)．∴等腰梯形ABCD的面积为×(1.6+1)×0.6=0.78(米2)．(2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3)．答：横断面ABCD面积为0.78平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米．三、达标训练1．一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD．(单位：米，结果保留根号)2．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(精确到0.01海里)分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线，AB是南北走向的一条直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BCP均为直角．再通过65°角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC互余的关系求∠BPC．3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米)本课小结1．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．2．利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：(1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中．(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．1．解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C＝90°，其边角关系如下：(1)三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°.(3)边角关系：tan A＝，sin A＝，cos A＝.2．常见解直角三角形的类型及解法(1)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A．(2)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝.(3)已知两直角边(a，b)解直角三角形：c＝，tan A＝，∠B＝90°－∠A．(4)已知斜边和一直角边(如a，c)解直角三角形：b＝，sin A＝，∠B＝90°－∠A．3．用三角函数表示的三角形面积公式如图，∵S△ABC=·CD=·CD，又∵sin A=，∴CD=b·sin A．∴S△ABC＝·CD＝·b·sin A＝·sin A．由此可得三角形面积公式为S△ABC＝·sin A，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．4．利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤(1)审题，通过图形(如果题目没有图形，要画出图形)，弄清已知和未知．(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题．(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形，其中找出有关的直角三角形是关键．注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角．5．解直角三角形常作的几种辅助线解直角三角形解决问题时，有时没有直接能解的三角形，这时需要添加辅助线，构造直角三角形，现介绍几种常用的方法．(1)梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形．【例1】 如图，塔AB和楼CD的水平距离为80 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高．分析：在直角梯形ABDC中，有特殊角∠BAC，过较短底CD的端点C作梯形的高CE，可构造出含特殊角的Rt△AEC．解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB，AE，从而获得塔高AB和楼高CD．解：作CE⊥AB于E，已知∠ACE=45°，∠ADB=60°，BD=CE=80 m.分别解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB=m，AE=80 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝80(－1) m.故塔高为80 m，楼高为80(－1) m.(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形．【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝1，∠BAD＝30°，∠ABC＝60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长．分析：显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它们互余，延长AD，BC相交于E，可得Rt△AEB．解：延长AD，BC相交于E，则∠E=180°-(30°+60°)=90°.在Rt△AEB中，sin 30°=，cos 30°=，可得BE=4，AE=.S四边形ABCD=S△ABE－S△CED=×4×－×3DE=.∴DE=，AD=AE－DE=.奥赛链接1．高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯．若每转(每层楼的楼梯分两转，楼梯转台不计)楼梯高度为2 m，坡角为30°(如图所示)，求至少共要地毯长多少米？解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝2tan 30°＝. ∴AC＋BC＝＋2，即每转楼梯要地毯 m.从一楼到三楼共要地毯4×＝ m.2．我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水，要铺设引水管线．如图，已知MN为引水工程某段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向有一村庄A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为村民居住的范围．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答：如果不改变方向，引水路线是否穿过该村庄？解：如图，过A作AD⊥MN于D．∵∠1＝30°，∠AMC＝60°，∴∠AMD＝30°.又∵∠2＝∠1＝30°，∴∠ABD＝75°－30°＝45°.在Rt△ABD中，BD＝AD．在Rt△AMD中，设AD为x，则AM＝2x.∴(400＋x)2＋x2＝(2x)2，解得x1＝200(1＋)，x2＝200(1－)(不合题意，舍去)．∵x＝200(1＋)＞500，∴引水路线不会穿过村庄．