初中数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质教学设计及反思

24.3   相似三角形的性质

学习目标要求

1、掌握相似三角形的性质。

2、能应用相似三角形的性质解决问题。

教材内容点拨

知识点：相似三角形性质

1、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

2、相似三角形周长的比等于相似比。

3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

典型例题点拨

例1、两个相似三角形对应中线的比是，大三角形的面积是小三角形面积的________倍。

点拨：根据相似三角形对应中线之比可得相似比，近而得出这两个三角形的面积比。

解答：∵两个相似三角形对应中线的比是，∴这两个相似三角形的相似比为，∴大三角形的面积是小三角形面积的倍。

例2、△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长。

点拨：此题根据相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比，可知相似比为，由此根据△ABC各边长可求出△A′B′C′的各边长。

解答：∵△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，∴△ABC的周长为54cm，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为，∴，∴，，。

例3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）。

点拨：注意到光线的反射定律：入射角等于反射角，可知△CDE∽△ABE。

解答：∵△CDE∽△ABE，∴，∵CD＝1.6，DE＝2.4，BE＝8.4，∴AB＝5.6米。

例4、例、已知：如图△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，，

(1)求证：△ABD∽△ACB；

(2)求△ABD与△ACB的周长的比，△ABD与△ACB的面积的比。

点拨：根据题中提供的两个与角相关的条件，要证明两个三角形相似，可联想到“AA”，证明两个三角形相似后，条件“”的作用在于提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周长比和面积比。

解答：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB。

（2）∵△ABD∽△ACB，且，∴△ABD与△ACB的相似比为，∴△ABD与△ACB的周长的比为，△ABD与△ACB的面积的比为。

例５、如图，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E，F分别在边AC，AB上，G，H都在BC上，且EF＝2FG，求矩形EFGH的周长。

点拨：由题目条件中EF=2FG得要想求出矩形的周长，必须求出EF与高AD=h的关系，由EF∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。此题还可以进一步求出矩形的面积，若对题目再加一个条件：AB⊥AC，那么还可以证出FG2=BG·CH，通过这些联想，就会对题目的内在联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。

解答：设FG＝x，

∵EF＝2FG，∴EF＝2x，

∵EF//BC ，∴△AFE∽△ABC，

又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF，

∴

即(AD-DM)/AD＝2x/a

∴(h-x)/h＝2x/a

解之，得x＝

∴矩形EFGH的周长为6x＝。

考点考题点拨

1、中考导航

会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题，有利用所学内容解决身边的问题的意识，例如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。

2、经典考题追踪

例1、（06遂宁）已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位: cm)分别为（  ）

 A、10,25     B、10,36或12,36     C、12,36       D、10,25或12,36

点拨：本题看起来有很多种情况，比较复杂，但可以用整体观点来考察，由于这两个三角形相似，∴它们的周长之比等于相似比，∴△ABC与所作三角形的相似比大于1，即所作三角形应该比△ABC小，∴在选择作边的木料时，只有选长为30cm的细木料，而将长为60cm的细木料分成两段，而且由于△ABC与所作三角形的相似比大于1，△ABC中只有长为50cm或60cm的边与30cm长的边对应，即相似比分别为或2，解得答案有两种。

解答：∵△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm，∴△ABC的周长为130cm，而两根细木料的长度分别为30cm和60cm，和最大只有90cm，∴所作三角形应比△ABC小，∴只能选长为30cm的木料为所作三角形的一边，且其只能与△ABC中的长为50cm或60cm的边相对应，即△ABC与所作三角形的相似比应为或2，当相似比为时，解得所作三角形的两边分别为12和36cm，当相似比为2时，解得所作三角形的两边分别为10cm和25cm，这两种情况下，所作三角形的两边长之和都小于60cm，∴答案有两种情况，分别为10cm,25 cm或12 cm,36 cm，选D。

例2、（06广西柳州）如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？

点拨：光线是沿直线传播的，之所以看不见水塔，是因为小张的眼睛、教学楼顶、水塔顶位于一条直线上，∴△EFG∽△AFB∽△DFC，根据相似三角形的性质可求BG。

解答：由图可知，△EFG∽△AFB∽△DFC，∴，，即，，∴，，∴BC＝FC－FB＝6.25FG＝30，解得FG＝4.8m，FB＝60m，∴小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有60m。

例3、（06海南）如图7，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是           米。

点拨：同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，由此可求出DE。

解答：∵同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，

即，解得DE＝7.5米。

易错点点拨

易错点1、审题不严，粗心大意，把握细节的能力不强。

易错点导析：在处理问题时，粗心大意，对一些关键词语没有仔细体会，表现为细节上的失误，而这一旦形成习惯后，将对数学学习形成巨大的障碍。

例1、若把各边分别扩大为原来的5倍，得到，下面结论不可能成立的是（   ）

A．∽                B．与的相似比为

C．与的各对应角相等  D．与的相似比为

错解：B

错解点拨：对扩大为和扩大了这两句话理解不清，扩大为原来的5倍意即扩大到原来的5倍，而扩大了5倍则意即扩大到原来的6倍。

正解：B

拓展与创新

1、如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF。若△ABC的边长为a。

（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？

（2）分别求出这两个三角形的面积。

点拨：D、E、F分别为等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴DE、EF、DF分别平行且等于△ABC三边的一半，根据相似三角形性质：三边对应成比例的两个三角形相似，可知△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2，在求出△ABC的面积后，根据相似三角形性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求△DEF的面积。

解答：（1）∵D、E、F是等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2。

（2）∵△ABC的边长为a，∴△ABC的面积为，△DEF的面积为。

2、如示意图，小华家（点A处）和公路（）之间竖立着一块35m长且平行于公

路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，

并将盲区内的那段公路记为BC，一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的

时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1

m）。

点拨：所谓视点A的盲区，即在视点A处看不到的公路区域，如图所示，在视点

A处看不到公路区域为BC段，由于光线的直线传播性，BC和DE与光线组成的两

个三角形相似，通过相似三角形性质可求出点A到公路的距离。

解答：由图可知△ABC∽△ADE，∴，又∵一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的

时间是3s，∴BC＝50m，DE＝35m，GF＝40m，∴，解得AF＝93m，∴小华家到公路的距离AG＝AF＋FG＝133m。

学习方法点拨

通过制作几何模型，加强对相似三角形性质的理解，特别是相似三角形的第一个性质的理解。

加强对相似三角形性质的应用训练，从而加深对相似三角形性质的认识。

要学会在生活中应用相似三角形的性质，提高利用相似三角形性质解决实际问题的能力。

随堂演练

1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。

2、如图，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE＝∠B，则对应角为_____，对应边为__      。

3、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3 cm，A′B′＝4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。

4、已知△ABC∽△A′B′C′，A和A′，B和B′分别是对应点，若AB=5 cm，A′B′=8 cm，AC=4 cm，B′C′=6 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________，A′C′＝________，BC＝________。

5、如图，已知DE∥BC，△ADE∽△ABC，则＝________＝________。

6、若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________。

7、已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________。

8、如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝3，BC＝2，A′B′＝12，则A′C′＝________。

9、下列命题错误的是（      ）

A.两个全等的三角形一定相似

B.两个直角三角形一定相似

C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例

D.相似的两个三角形不一定全等

10、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（      ）

A.△ABC∽△A′B′C′                 B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等

C.△ABC与△A′B′C′的相似比为     D.△ABC与△A′B′C′的相似比为

11、若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝55°,∠B＝100°，那么∠C′的度数是（      ）

A.55°   B.100°       C.25°   D.不能确定

12、如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为(    )

A.5∶3   B.3∶2     C.2∶3  D.3∶5

13、若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于(    ) 

A.1.5  B.3     C.2  D.1

14、如图，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(    )

A.               B.

C.               D.

15、△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于(    )

A.  B.2    C.  D.2

16、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（      ）

A.3AB＝4DE                      B.4AC＝3DE

C.3∠A＝4∠D                    D.4（AB+BC+AC）＝3（DE+EF+DF）

17、已知△ABC中，AB＝15 cm，BC＝20 cm，AC＝30 cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边为40 cm，求△A′B′C′的其余两边的长。

18、已知：△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的最大边长为15 cm，求△A′B′C′的周长。

19、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒，比较棒子的影长与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB。如果，，

，你能求出金字塔的高度吗？

 20、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

21、如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C。求证：AF2=FE·FB。

22、如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？

随堂演练答案

1、全等

2、对应角：∠ADE与∠B、∠AED与∠C、∠A与∠A，对应边：AE与AC、AD与AB、DE与BC。

3、4∶3

4、8∶5，6.4，3.75

5、

6、24cm

7、直角三角形，96cm2

8、

9、B

10、C

11、C

12、D

13、A

14、A

15、C

16、D

17、∵△ABC中最长边为AC＝30 cm，△A′B′C′的最长边为40 cm，∴△A′B′C′与△ABC 的相似比为4∶3，∴，即，解得A′B′＝20cm，B′C′＝cm。

18、∵△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的三边之比为1∶2∶3，又∵△A′B′C′的最大边长为15 cm，∴△A′B′C′的三边分别为5cm、10cm，∴△A′B′C′的周长为30cm。

19、∵△O′A′B′∽△OAB，∴，即，解得OB＝137。

20、∵△ABD∽△ECD，∴，即，解得AB＝100米。

21、证明：∵AB∥CD，∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B，∴△EAF∽△ABF，∴，即AF2＝EF·BF。

22、由图可知△GCD∽△GAB、△HEF∽△HAB，∴，，∵DC＝FE，∴，即，解得步，∴，解得AB＝7530步。