初中数学冀教版八年级上册13.3 全等三角形的判定教案及反思

直角三角形的判定

教学目标

    知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．

    过程与方法：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股逆定理．

    情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会勾股逆向思维所获得的结论．明确其应用范围和实际价值．

    重点、难点、关键

    重点：理解和应用直角三角形的判定．

    难点：运用直角三角形判定方法进行解决问题．

    关键：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法．

    教学准备

    教师准备：直尺、圆规、投影片．

    学生准备：复习勾股定理，预习本节课内容．

    教学过程

    一、创设情境

神秘的数组（投影显示）．

美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plim pton 322）的古巴比伦泥板．

    泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些神秘的数组揭示了什么奥秘呢？

经专家的潜心研究，发现其中2列数字竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列数（如表所示）左边的一列，那么每列的3个数就是一个直角三角形的三边的长！

    例如：60、45、70是这张表中的一组数，而且602+452=752，小明画了以60mm、45mm、75mm为边长的△ABC．（如图所示）

    请你猜想，小明所画的△ABC是直角三角形吗？为什么？

    教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．

    学生活动：观察问题，小组合作交流，思考上述问题的解答．

    思路点拨：

    思路一：用量角器量三角形的3个内角，看有无直角．

    思路二：动手画一个直角三角形，使它的2条直角边的长为60mm和45mm，看能否与△ABC全等．

    媒体使用：投影显示“普林顿322”泥板的图片，以及数字．

    古埃及人实验（投影显示）

    古埃及人曾用下面的方法得到直角：

如图所示，用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结论．

    请你思考：按这种做法真能得到一个直角三角形吗？

    教师活动：提出问题，引导思考．

    学生活动：继续探索，感悟其中的道理．

    形成共识：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（勾股定理）

    思考：这个结论与勾股定理有什么关系呢？

    学生活动：通过小组讨论、分析，发现它与勾股定理恰好是条件与结论互相对换的一个语句．

    教师点拨：实际上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三角形．从神秘的数组中的数据可以发现它们都是勾股数，也就是满足a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数，古埃及实验也体现出这个特征．可见利用勾股数可以构造直角三角形．

    二、范例学习

    例3  设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．

    （1）7，24，25； （2）12，35，37； （3）13，11，9

    思路点拨：判断的依据是勾股逆定理，但是应该是将两个较小数的平方和与较大数平方进行比较，若相等，则可构成直角三角形，最大边所对的角是直角，这一点应该明确．

    教师活动：引导学生完成例3，然后提问学生，强调方法．

    学生活动：动手计算，对照勾股定理进行判断．

    三、随堂练习

    1．课本P54页第1，2题．

    2．探研时空:

（1）如图所示，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出DC的长吗？

    思路点拨：本题首先要将△ABC分割成Rt△ABD和Rt△ADC，然后具体的分析，将题设条件进行对照，确定运算．在△ABD中，

    ∵AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102，

    ∴AD2+BD2=AB2

    于是∠ADB=90°

（2）一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b），这个零件符合要求吗？

    思路点拨：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，只要能运用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可，这个问题，首先应在△ABD中计算出AB2+AD2=9+6=25=BD2，得到△ABD是直角三角形，∠A=90°，再在△BCD中，计算BD2+BC2=25+144=169=CD2，得到△BCD是直角三角形，∠DBC是直角，由此，可以推断出这个零件符合要求．

    教师活动：操作投影仪，提出问题，巡视、启发，关注“学困生”，可以请部分学生上台演示．

    学生活动：小组合作交流．

    媒体使用：投影显示“探研时空”．

    教学方法：讲练结合，互动交流．

    四、问题求索

    如图所示，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=BC．

请你猜想AF与EF的位置关系，说说你的理由．

    思路点拨：要弄清两条线段在同一平面内位置关系，就有方向了．可以猜想，AF与EF互相垂直，从理由上讲就是要得到∠AFE=90°，那么必定要构建与AF、EF有关的三角形去证明它是Rt△，因此可连接AE，利用勾股定理，求得AF2、EF2、AE2，然后再判定是否存在AF2+EF2=AE2．

    连接AE，设正方形边长为a，则DF=FC=，EC=，

    在Rt∠ADF中，有AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2，

    同理，在Rt△ECF中，有EF2=（）2+（）2=a2，

    在Rt△ABE中，有BE=a-a=a

    ∵AE2=a2+（a）2=a2

    ∴AF2+EF2=AE2

    根据勾股定理逆定理得∠AEF=90°．

    因此，AF⊥EF．

    教师活动：操作投影仪，启发、引导学生运用勾股定理以及它的逆定理来解决猜想，然后归纳出方法．

    学生活动：小组合作讨论，共同思考、并猜想，而后去证明自己的猜想．

    媒体使用：投影显示．

    教学形式：分四人小组合作交流．

    五、课堂总结

    1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a、b、c有下列关系：a2+b2=c2．那么这个三角形是直角三角形．

    2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

    3．利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

    六、布置作业

    1．课本P54习题14．1第6题．

    2．选用课时作业设计．

    七、课后反思（略）

作业设计

    一、填空题

    1．请完成以下未完成的勾股数：

    （1）8，15，______；   （2）15，12，______；

    （3）10，26，_______； （4）7，24，______．

    2．△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．

    3．△ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．

    4．已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是_____．

    5．△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以BC为边的正方形面积为_______．

    6．三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______．

    二、判断题

    7．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边的三角形不是直角三角形．（  ）

    8．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股数。（ ）

    三、选择题

    9．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8，15，17； （4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（  ）．

    A．4组       B．3组        C．2组        D．1组

    10．三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（  ）．

    A．直角三角形     B．钝角三角形

    C．锐角三角形     D．不能确定

    11．以下各组数为三边的三角形中不是直角三角形的有（  ）．

A．7，24，25     B．4，7，8   C．12，16，20     D．3，4，5

    12．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（  ）．

    A．2倍     B．3倍    C．4倍    D．不变

    13．在△ABC中，若a=2，b=3，c=4，则△ABC是（  ）三角形．

    A．锐角    B．直角    C．钝角    D．无法确定

    四、解答题

    14．在△ABC中，AC=21cm，BC=28cm，AB=35cm，求△ABC的面积．

15．如图所示，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求CD的长．

16．如图所示，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

17．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（如图所示），问水深和芦苇长各多少？

    18．给出一组式子：32+42=52

    82+62=102

    152+82=172

    242+102=262

    （1）你能发现关于上述式子中的一些规律吗？

    （2）请你运用所发现的规律，给出第5个式子；

    （3）请你试说明你所发现的规律？

答案:

一、1～3．略  4．直角△  5．3  6．直角三角形 

二、7．×  8．× 

三、9．B 10．A  11．D  12．A  13．C   

四、14．294cm 

15．.先得到△ABC为Rt△，将△ABC沿AD对折，点O为AB中点，

则AC=AO，CD=OD，OB=AB-AO=8，

设CD=x，则82+x2=（12-x）2，求出x=．

16．断裂处到杆顶点长15米，折断前旗杆长为24米 

17．设水深AC=x尺芦苇AB=（x+1）尺则AB′=（x+1）尺，B′C=5尺，

在Rt△ACB′中，由勾股定理，得（x+1）2=x2+52，解得x=12尺，

所以水深12尺，芦苇长13尺．

18．（1）每组数都以n2-1，2n，n2+1组成  （2）352+122=372 

（3）（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2