冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理教案

16.3勾股定理的应用

〖教学目标〗

（－）知识目标

初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.

（二）能力目标

1.能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解.

2. 在解决实际问题的过程中，体验空间图形展开成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培养空间观念

（三）情感目标

通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心．培养用数学的意识.

〖教学重点〗

运用勾股定理进行计算，解决实际问题.

〖教学难点〗

运用勾股定理进行计算，解决实际问题.

〖教学过程〗

一、课前布置

自学：阅读课本P86~P87，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.

二、师生互动

（一）

［师］勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。

勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。

正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。

现在让我们一起走进“勾股定理的应用”.

［师生共析］一起交流课本P86的例1、2和P87 的“一起探究”.
（让学生主动提出问题，鼓励学生自己解决课本例题，可以用课本的练习作为例题）

例  一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？

提示：此题关键是要弄明白方位角，能据题意画出图形．

方位角，上北下南，左西右东．

东南方向是东、南的夹角平分线；西南方向是西、南的夹角平分线；

东北方向是东、北的夹角平分线；西北方向是西、北的夹角平分线.

解：由题意画草图如下．

因为△ABC为直角三角形．

1个半小时以后，AC＝12×1.5＝18（海里）

AB＝16×1. 5＝24（海里）

所以由勾股定理得AC2＋BA2＝BC2

所以BC2＝182＋242  BC2＝900

所以BC＝30（海里）

答：它们离开港口1个半小时后相距30海里．

（二）小结

［师生共析］用数学知识解决实际问题，首先要把实际问题转化到一个相应的数学模型中.在这里，就是转化到直角三角形中用“勾股定理”解决，或转化到由三角形边的数量关系去识别它是不是直角三角形.

在解决问题中，要将图形与数字有机地结合起来，善于发现和总结，抓住问题的本质特征.

例如：“南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，我反走私艇在A发现一走私艇C偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的反走私艇B注意，经测A、C距离13，A、B距离5，B、C距离12．”

利用画图可以帮助理解题意，发现AC＝13，AB＝5，

BC＝12，正好是勾股数，所以三艇构成直角三角形．

（三）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）

例1 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，

高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的

、，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌

棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把

线段AB放在Rt△ABC中，其中BC为底面直径．

解：如图，当搅拌棒在AB位置时最长，过B画底面直径BC，则在Rt△ABC中，

AC＝15cm，    BC＝4×2＝8cm

根据勾股定理得

所以 AB=17

答：易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长为17cm．

例3 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了lm，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

分析： 由题意可知绳子比旗杆多lm，把下端拉开5m后，下端刚好接触地面，这时，旗杆AB、绳子AC、旗杆底点B与绳接触地面的点C所连结的线段BC构成直角三角形．如图19—13如果设旗杆AB＝m，则绳长AC＝(x＋1)m.

解：设旗杆高为xm，则绳子长(x＋1)m在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5根据勾股定理得

即

所以旗杆的高度为12m．

三、补充练习

作业：P87~88习题

〖分层练习〗

基础知识

1. （1）如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为          .

（2） 一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图,如果量得AC＝6m，CB＝8m．则树在刮断之前有________高

（3） 如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树

相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，至少飞了        米.

2. 要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米的拉线，求地面拉线固定点A到电线杆底部B的距离．

3．有两根木棒，它们的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中必须有一个角是直角，则所需最短的木棒长度是多少?

4．一段长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面6m，现将梯顶沿墙面下滑1m，则梯子底端与墙面距离是否也增长1m？说明理由.

综合运用

5．小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段，作成一个等腰三角形风筝的边框ABC(如图)，已知风筝的高AD=40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？

6. 如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．
反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，
A、B两艇的距离是5海里．反走私艇B测得距离C艇是12
海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国
领海？

7. 李叔叔想要检测固定像底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但它只随身带了卷尺（只有底座ABCD）如图．

（1）你能帮他解决吗？

（2）要是李叔叔已经给量好：AD＝30 cm，

AB＝40 cm，BD＝50 cm，AD边垂直AB边吗？

（3）要是身边只有一把20 cm的刻度尺怎样解决这个问题呢？

〖答案提示〗

1. （1） 100mm   （2） 16m    （3）  10.

2. 解：由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2

AB2＝AC2－BC2＝132－52＝144，所以AB＝12．

答：固定点A到杆底的距离为12．

3．30cm(提示：最短的是直角边，利用勾股定理可求得.)

4．不是lm（提示：根据题意可知AB==10,AO=6,在Rt△ABO

中利用勾股定理可求BO=8. 在Rt△O中可知=7，

利用勾股定理可求=51>49，所以梯子底端与墙面距离增长超过1m）

5．解：AB+BD=×160=80．

设AB=x cm，则BD=(80－x)cm，由勾股定理知

AD2+BD2=AB2，即402+(80－x)2=x2，解得x=50

所以AB=AC=50 cm，BC=60 cm．

答：小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成50、50、60三段即可.

6. 解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，

又，

所以△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，

因为MN⊥CE，

所以走私艇进入我领海的最近距离是CE，

（认真审题是解决本题的关键）

两式相减得：，

，

9时50分＋51分＝10小时41分．

答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．

7.（1）（由于方法很多，在此列出一种供参考：）

是用卷尺测量一下AB、BD、AD的长度，看看是否满足：

AD2＋AB2＝BD2．如果满足，则DA⊥AB于A，否则

就不垂直，同理可检测CB是否垂直于AB．

（2）一定垂直，因为李叔叔测得的三边正好是勾股数，所以△ABD一定是直角三角形．

（3）方法很多，例如可以在AB上一段一段的测量AB，同样的办法量出BC、BD即可，从而得到结论．