初中数学冀教版九年级上册第26章 解直角三角形26.3 解直角三角形教学设计及反思

这是一份初中数学冀教版九年级上册第26章 解直角三角形26.3 解直角三角形教学设计及反思，共21页。教案主要包含了作业，课堂小结，检查预习情况，知识内容的复习等内容，欢迎下载使用。

第28章锐角三角函数
§28.1 锐角三角函数
教学目标：
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、了解锐角三角函数的概念，能正确应用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比。
3、熟记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切、余切的函数值并能正确进行计算。
4、会根据已知锐角求它的三角函数值；会由已知三角函数值求它的锐角。
教学重点：锐角三角函数的概念
教学难点：理解并利用锐角三角函数准确表示直角三角形两边的比。
教学方法：指导讲授法。
学习方法：合作探究法。
教具准备：直尺、三角板
课时安排：3课时
教学过程 （第一课时）
一、 从原有知识结构提出问题
检查预习情况：直角三角形中的边角之间有怎样的函数关系？
如何表示这样的函数关系？
关于直角三角形相关性质的复习：
1. 直角三角形的角： （1）有直角； （2）两个锐角互余。
2. 直角三角形的线段：（1）边（勾股定理）；
（2）斜边上的中线等于斜边的一半。
3.直角三角形的边与角：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
说明：结合图形进行复习，可以简单利用习题化的方式进行，特别是勾股定理的“设”的应用。
二、 知识内容的探究合作与学习
1. 探究简洁的直角三角形中的计算模式（板书：§28.1锐角三角函数）
2. 问题：



B
A
C
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为，在Rt△ABC中，
∠C=90o，∠A=30o，BC=35m，
（1） 求？ （2）求AB？
(3)若出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
根据“在直角三角形中，30o角所对的直角边等于斜边的一半”，
即，可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
说明：（1）读题分析，构造Rt△；（2）标注条件；（3）解决问题；（4）拓展问题；
（5）改变条件，解决问题；（6）归纳总结。
练习:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，求？
A
B
C

说明：（1）教师板书问题；（2）提示学生；（3）师生共同解题；（4）归纳小结。
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。
探究:在Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇中，∠C=∠C＇=90°,∠A=∠A＇＝ɑ.那么与
A
B
C
A’
B’
C’
有什么关系？
　　　　　





说明：（１）教师板书题目；（２）师生共同探究；（３）教师引导学生归纳解题．

解:　 由于∠C=∠C＇ =90o，∠A=∠A＇=α，所以Rt△ABC∽Rt△A＇B＇C＇，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
练习：根据两个图形条件分别求出：（1）；（2）；（3）.
A
B
C
A
B
C

（∠A=30°） (∠A=45°)

三、 课堂小结
（1）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
（2）数学探究过程：从特殊到一般。
四、作业：
B
A
C
4
6
在Rt△ABC中，∠C=90°, 分别求出：（1）；（2）；（3）的值。




（图1） （图2）

§28.1 锐角三角函数（第2课时）
一、 检查预习情况
问题：（1）什么是锐角A的三角函数？
（2） 锐角A有哪些三角函数？你能正确进行书写吗？
二、 知识内容的复习、探究、合作与学习
1、 相关内容的复习：
（1） 直角三角形概念的复习（结合图形进行复习）
（2） 上节课探究内容的复习（锐角A的对边与邻边、斜边间的关系）
2、 锐角三角函数的相关概念介绍


板书：锐角三角函数
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°,

a(∠A的
对边)
A
B
C
c（斜边）
b(∠A的邻边)
（1） ∠A的正弦：sinA＝
（2） ∠A的余弦：
（3） ∠A的正切：

（4） ∠A的余切：cotA=

说明：（1）讲清概念记忆方法，“弦与切”，“正与余 ”；
（2）讲清先看角，由角再看对边与邻边。
注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF；
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
例1. 如图,在中, ,求sin和sin的值.








练习：根据右图，求sinA和sinB的值。
A
B
C
3
5




例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,AB=10,求∠A的四个三角函数值。
说明：（1）注意格式；（2）引申求∠B的三个三角函数值。







练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值。
A
B
C
15
17
B
A
C
4
6

（1） （2）





2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大3倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？





例3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,，求cosA,tanB的值。
A
B
C
6




练习: 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,tanA=, 求sinA,cosB的值.
A
B
C
10


三、 课堂小结
（1）锐角三角函数的定义； （2）题目中出现锐角三角函数的用法。
四、作业
书









§28.1 锐角三角函数（第3课时）
一、 检查预习情况
1、 你知道直角三角形中的特殊角吗？
2、 你能求出特殊角的三角函数值吗？
二、 知识内容的复习、探究、合作与学习
1、 相关内容的复习：
（1）直角三角形概念的复习（结合图形进行复习）
（2）锐角三角函数的表示（结合图形进行复习）
2、特殊三角函数值的学习
引入：利用图（1）与图（2）求锐角A的四个三角函数值。


A
B
C
（说明：在图（1）中拓展求锐角B的四个三角函数值）
A
B
C





（∠A=30°） (∠A=45°)


板书：特殊角的三角函数值表
锐角A
三角函数

30°
45°
60°
sinA



cosA



tanA



说明：（1）指导学生理解表中数据的推导；（2）指导学生记忆表中数据；
(3) 指导学生进行逆向记忆。
例1.求下列各式的值.
（1） (2)
说明：
解：（1） (2)

练习1. 求下列各式的值.
（1）； （2）；




（3） ( 4 ) 2sin2300·tan300+cos600·tan600


例2. (1)如图(1), 在中，,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.

解: (1)在图(1)中,在Rt△ABC中，∠C=90° (2)在图(2)中. 在Rt△AOB中，∠O=90°

. .
答： ∠A为45°；ɑ为60°.
练习2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=,AC=。求∠A、∠B的度数。





练习3.求下列各式的值：
（1）（2）



三、课堂小结
（1）特殊角的三角函数值表；（2）特殊角的三角函数值正反两方面的应用。
四、作业
书
§28.2 解直角三角形
教学目标：
1、理解直角三角形中边与边、角与角、边与角的关系，能正确使用相应的关系式进行解直角三角形的相关计算。
2、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
3、掌握相关概念，会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
4、通过解直角三角形解决实际问题，进一步体会数学在解决实际问题中的作用。
5、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
教学重点：利用相应的关系式正确求解直角三角形。
教学难点：利用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。
教学方法：指导讲授法。
学习方法：合作探究法。
教具准备：直尺、三角板
课时安排：7课时
教学过程： （第1课时）
一、检查预习情况
问题：（1）什么是解直角三角形？
（2）请结合图形描述解直角三角形的求解条件，并归纳解直角三角形的一般步骤。
二、知识内容的复习、探究、合作与学习
1、锐角三角函数的相关内容的复习
（1）锐角三角函数的定义（结合图形解答）；（2）特殊角的三角函数值。
2、解直角三角形的相关内容的复习
A
B
C
a
b
c
直角三角形中的边角关系

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）三边关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)两锐角关系：∠A+∠B=90°
(3)边角关系：


如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

问题：知道直角三角形中的5个元素（3条边2个锐角）中的几个元素，就
可以求其余元素?
说明：（1）学生探寻最少量；（2）教师引导说明，并进行试求；
(3)师生共同归纳；（4）教师板书。
板书：解直角三角形：
（1）有直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
（2）直角三角形的求解条件：知道除直角外的两个元素（至少有一个是边）。
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
且b=，a=，解这个三角形．
说明：（1）引导学生读题，画出相应图形；（2）在图形中标注条件，并进行分析。
B
解 在Rt△ABC中，∠C=90°
C
∵tanA===
A
∴ 
∴ 
∴ C=2， b=
答：∠A为30°,∠B为60°,c为。
A
B
C

a
20
c
例2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,b=20.
解这个直角三角形。
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°
由cotB=,得
由sinB=,得
答：∠A=60°， =, =40.
问题：（1）能否使用tanB进行求解？并比较优劣。
（2）求c的值还有其它方法吗？
练习1.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形。
（1）a=20,b=20； (2)∠B=60°,c=14.
三、课堂小结
（1）直角三角形中的边角条件； （2）解直角三角形的方法。
四、作业
书


§28.2 解直角三角形 （第2课时）
一、检查预习情况
A
B
C
D
1.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，
CD⊥AB于点D，CD=5，求AD、BD、AB的长。







2. 如上图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，
AB=4,求AD,BD,CD的长。



二、知识内容的复习、探究、合作与学习
1.解直角三角形相关内容的复习
（1）直角三角形中边角的相关条件；（2）解直角三角形。
2.解直角三角形的计算复习
练习：（1）若正六边形的边长为8，则它的边心距为（ ）。
（2）在⊙O中，弦长为10的弦所对的圆心角为120°，
则⊙O的半径是（ ）。
说明：（1）师生共同完成练习；（2）教师引导，学生归纳解题思路；
（3）教师板书。
板书：解直角三角形的一般步骤：
A
B
C
D
（1）构造（找出）直角三角形；（2）标注条件（已知和未知）；
（3）选择恰当的关系式；（4）变形关系式进行计算。
例1. 如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，
AB=10,求△ABC的面积。
解：作CD⊥AB于点D，
设CD=x
在Rt△ABC中，∠A=45°，∠ADC=90°
由tan45°=，得=1×AD=AD
在Rt△ABC中，由
∵
∴



即CD=
∴
答：△ABC的面积是.
说明：（1）分析题意，构造Rt△；（2）分析Rt△的可解条件；（3）引导学生
设x；（4）分析Rt△中的可求；（5）教师引导，师生共同分析解答；
（6）教师板书；（7）变式已知CD，求面积。
B
C
A
练习1. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AB=AC,BC=6,
求△ABC的周长与面积。







B
C
A
D
练习2. 如图，在△ABC中，∠B=30°,AB=AC,BC=12m,
AD是的中线，求AD和AB的长。









三、 课堂小结
（1）解直角三角形计算的解题思路；（2）计算方法。
四、作业
书



§28.2 解直角三角形 （第3课时）
一、检查预习情况
问题：怎样测量物体的高？请你设计测量方法与测量步骤。
二、知识内容的复习、探究、合作与学习
1.相关知识的复习
（1）测量物体的高的方法（构造直角三角形）；（2）仰角与俯角。
2.解直角三角形的实际应用（测物体的高）
阅读书P94-95 教学活动
A
B
C
D
（说明：（1）学生阅读，教师指导；（2）教师提示，师生共同解决问题（5））
例1.如图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看点B
的仰角是30°，AC长1.5米，求BD的高及水平距离CD.
说明：（1）学生构造Rt△，标注数值；
（2）教师引导，学生独立完成；
（3）强调解题格式，教师板书。






﹒
A
B
C
D
E
练习1.如图，沿AC方向开山修路。为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B取∠ABD=130°，BD=100m，∠D=40°，那么开挖点E离D多远正好能使成一直线（结果保留小数点后一位）？
（参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660,
tan40°≈0.8390，cot40°≈1.1918）







练习2.雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C处 C与塔底B在同一水平线上），用高1.4米的测角仪CD测得塔顶A的仰角α=43°（如图），求这座“千年塔”的高度AB（结果精确到0.1米）.（参考数据：tan43°≈0.9325，cot43°≈1.0724）






A
C
B
D
E
练习3.如图，大楼AD的高为10m，远处有一塔BC。某人在楼底A处测得塔顶B点处的仰角为60°，爬到楼顶D点处测得塔顶B点的仰角为30°，求塔BC的高度。








三、课堂小结
（1）利用解直角三角形测物体的高；（2）仰角与俯角；
（3）解直角三角形应用的一般步骤。
四、作业
书
§28.2 解直角三角形 （第4课时）
一、检查预习情况
2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地球表面350Km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与点的距离是多少？（地球半径约为6400Km，取3.142，结果保留整数）
说明:阅读书,并向同学介绍解题思路.







二、知识内容的复习、探究、合作与学习
1.利用解直角三角形的应用测物体的高
(1)解直角三角形的实际应用解题思路;(2)怎样测物体的高;(3)注意近似计算.
练习1、从一艘船看海岸上高为30m的灯塔顶部的仰角为43°，船离海岸有多远（结果保留整数）？





2． 解直角三角形的实际应用（类型1：测物体的高）
例1. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与这栋高楼水平距离为120m，这栋高楼有多高？
说明：（1）读题，建立数学模型；（2）题目改动，取消近似计算；
（3）师生共同完成解答；（4）强调解题格式。
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D
在Rt△ABD中,
∵tan30°=
∴BD=120×tan30°=
在Rt△ACD中,
∵tan60°=
∴CD=120×tan60°=
∴BC=BD+CD=
答：这栋楼高m.
练习2、建筑物BC上有一旗杆AB，由距离BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度。








引申：书数学活动2（注意：给出相应数据）
(AB=10,人高AD=1.5,)
三、课堂小结
（1）测物体的高（解直角三角形的实际应用）；
（2）解直角三角形的实际应用的解题思路；
（3）典型计算。
四、作业
书

§28.2 解直角三角形 （第5课时）
一、检查预习情况
问题：你知道坐标方位角吗？请你向同学介绍。
二、知识内容的复习、探究、合作与学习
1.解直角三角形的实际应用复习
（1）解直角三角形实际应用的解题思路；（2）实际应用类型1：测物体的高。
练习1：一座埃及金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损，是一个边长为80m的正方形，且每一个侧面与地面成70°角，这个金字塔原来有多高？（结果保留整数）（sin70°≈0.9397,cos70°≈0.3420,tan70°≈2.7475）






2. 解直角三角形实际应用（类型2：坐标方位问题）
板书：坐标方位的相关概念
（1）方位线：北偏东60°（射线OA）；
（2）方位角：方向线与竖直线的夹角；
（3）特殊方向：东南方向（南偏东45°）。



例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）
(sin65°≈0.9063,cos65°≈0.4226,tan65°≈2.1445;
sin34°≈0.5592,cos34°≈0.8290,tan34°≈0.6754)
说明：（1）结合图形，引导学生读题；（2）学生分析，构造Rt△；
（3）教师引导，进行方位角的Rt△转化；
（4）学生分析计算；
（5）师生共同完成解答。











练习2：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
说明：（1）结合图形，构造Rt△；（2）读题，标注条件；
（3）分析解题思路；（4）师生共同完成解答。









练习3：上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？












练习4：书（说明：只进行分析即可）
三、课堂小结
（1）坐标方位的相关概念；（2）典型图的特殊计算。
四、作业
光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离。







§28.2 解直角三角形 （第6课时）
一、检查预习情况
问题：什么是坡度与坡角？请结合图形向同学介绍。
二、知识内容的复习、探究、合作与学习
1.解直角三角形的实际应用复习
（1）解直角三角形的应用思路；（2）测物体的高与坐标方位。
练习1：书（说明：只进行思考列式即可）
2.解直角三角形的实际应用（类型3：坡度问题）
板书：坡度的相关概念
如图，对于坡面AB（1）坡度：
（2）坡角：
（3）坡度与坡角的关系：
例1.下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角是45°。为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，
若新坡脚下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除（保留小数点后一位）?()
说明：（1）学生读题，构造Rt△
（2）讲清坡度的用法；
（3）师生共同解题；
（4）学生整理笔记。







练习2：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角和；
（2）斜坡AB的长（保留小数点后一位）。








阅读书
归纳板书：解直角三角形的实际应用：
1.解题步骤：（1）结合实际问题，构造Rt△；（2）标注条件；
（3）选择恰当的关系式计算或列方程；（4）得出结果作答。
2.常用类型：（1）测物体的高（仰角、俯角）；（2）坐标方位问题（方位角）；
（3）坡度问题（坡度、坡角）。
三、课堂小结
（1）坡度问题；（2）解直角三角形的实际应用。
四、作业
书


第28章锐角三角函数复习
一、知识内容的复习
1.锐角三角函数
（1）锐角三角函数的概念；（2）特殊角的三角函数值。
2.解直角三角形
（1）解直角三角形的定义；（2）解直角三角形的依据；
（3）解直角三角形的一般步骤；（4）解直角三角形的典型图与典型计算。
3.解直角三角形的实际应用
（1）解直角三角形应用的解题步骤；
（2）解直角三角形应用的常见类型（注意相关概念）。
二、知识应用（例题与习题）
一、选择题
1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列关系成立的是（ ）
A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞b＞a D、c＞a＞b
2. 在△ABC中，∠C=90°，则下列关系成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知,则m的值等于（ ）
A、 B、 C、1 D、不确定
4．已知在△ABC中，∠C=90°，设，当是最小的内角时，m的取值范围是（ ）
A、0＜m＜ B、0＜m＜ C、0＜m＜ D、0＜m＜
5. 已知在△ABC中，∠C=90°，,则tanB=( )
A、 B、 C、 D、
二、填空题
6.如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点到旗杆BC的距离AB=10米，则旗杆的长为( )米。


7.已知在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
如果b=5a，那么∠A的正切值为（ ）。
8．已知，则∠A=（ ）。
9.已知一个等腰三角形的一边长为4，一边长为6，则这个三角形底边上的高的长为（ ）。
10.如图，在△ABC中，∠A=90°,斜边BC上的高AD=4,
cosB=,则AC=（ ）。
三、解答题
11、计算：（1）
（2）； (3)；
(4)；
(5)； （6）；
（7）。
11.如图，一座住宅楼发生火灾，消防车立即赶到距楼9米处（车未到楼墙面），升起云梯到发生火灾窗口。已知云梯15米，云体底面距地面2米，问发生火灾的住户的窗口距离地面有多高？












12.“水是生命之源”，为了保护水资源，某地对水库大坝进行加固。如图是该堤坝的横截面，已知背水坡高20米，原坡角为45°，加固后坡角为30°，大坝总长为100米。问这次加固需要多少土石方？（结果保留整数，
参考值）








13.如图，在矩形ABCD中，把点D沿AE对折，使点D落在BC上的F点，若AD=10,AB=8，求CE的长.












14.已知三角形两边的长分别为4、5，第三边上的高为3.求这个三角形的面积。












三、作业
书