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北京课改版八年级上册12.8 基本作图教学设计
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这是一份北京课改版八年级上册12.8 基本作图教学设计，
基本作图一：已知点的两面投影求第三面投影。图1 求点的第三面投影如图1a已知点A的正面投影和侧面投影，求其水平投影。作图步骤如下：首先根据点的投影的第一条规律，点的水平投影与正面投影的连线必垂直于X轴，所以过a’作X轴的垂线，如图1b。再根据第二条规律，a到X轴的距离等于a”到Z轴的距离。为作图方便，过O作45度分角线，过a”作Yw轴垂线并延长与分角线相交，再作Yh的垂线，与前一步作的直线相交，交点即为水平投影a。 基本作图二：求直线的实长及与正平面的夹角β。图2 求实长作图如图2左，已知直线的二个投影，现要求直线的实长及与正面的夹角。作图步骤如下： 1）在水平投影，过b作X轴的平行线与直线相交；2）在正面投影，过b’作a’b’的垂线，使其长度等于如图右所示长度，即两端点的Y坐标差；3）连接形成直角三角形的斜边，则斜边长为实长，斜边与a’b’的夹角为β角。 注意两点：一是三角形可以作在图面任何位置，图中直接作在正面投影上，是为了少画一个直角边；二是夹角一定是斜边与a’b’边的夹角，它的大小等于真实的直线与正面的夹角，但并不表示直线在图上所示位置与V面相交。 基本作图三：在直线AB上作一点C，并把直线分成AC:CB=2:1。图3 作图三作图步骤如下：1）过a任作一直线段，并事先取得三个等距段，在每个等距点上标记，如1、2、3。2）连接3b，并过2、1分别作它的平行线与ab相交，标记2的平行线与ab的交点为c，即点C的水平投影。3）过c作X轴的垂线，延长与a’b’相交得到交点，标记c’，点C的正面投影，求出投影相当求出了C点。 基本作图四：过空间一点C作一条直线CD与已知直线AB相交图4 过点作直线相交作图步骤如图4b所示：1）由于过一点可作无数条直线与已知直线AB相交，现在是任作一条。过c’作任一直线c’d’与a’b’ 相交于d’。2）过d’作投影轴的垂线并延长交ab于d。3）连接cd，并延长。作直线与直线相交的关键是要保证直线投影的交点，是直线在空间交点的投影。 基本作图五：过点C作一条直线CD与已知直线AB平行图5 过点作平行作图步骤如5b所示：1）过c’作c’d’平行于a’b’；2）过c作cd平行于ab；3）使d’和d在一条垂直于投影轴的直线上。这是保证d’和d是空间D点的两个投影，至于c’d’画多长是无关紧要的。 基本作图六：过空间一点，作一条直线与正平线垂直相交。图6 作直线与正平线垂直相交分析：图6a，直线AB为正平线，C为空间一已知点。现要求过C作一条直线垂直于AB，设该直线为CK。根据直角投影定理，CK的正面投影与AB的正面投影必垂直。由于过C可以做无数条垂直于AB的直线（包括交叉垂直），所以CK的水平投影有无数种情况。但本作图要求的是垂直相交，所以，CK的水平投影必须要满足相交的条件，因此情况只能是一种。作图步骤如下：1）过c’作a’b’的垂线，与a’b’的延长线相交于一点k’，即为交点的正面投影；2）过k’作投影轴的垂线与ab的延长线交于一点k，即为交点的水平投影；3）连接ck。则c’k’和ck即为所求垂线的两个投影。 基本作图七：过空间一点，任作一条直线垂直于已知的一般位置直线。图7 作直线垂直于一般位置直线分析：图7a所示，AB为一般位置直线，C为空间一已知点。如前述，过空间一点可作无数条直线垂直于已知直线，本作图要求是任作一条，可根据直角投影定理直接作平行线垂直于它。作图步骤如下：见图7b1）首先作一条水平线垂直于AB。因为是水平线，所以它的正面投影应该平行于投影轴，作c’1’平行于投影轴。2）由于它们的投影在水平面成直角，所以作c1垂直于ab。3）注意使1’1要垂直于投影轴，即要符合投影规律。同理还可以作一条正平线C2垂直于直线AB。应该注意，这两条平行线均不与AB相交，它们与AB的关系是交叉垂直。作这样两条平行线垂直于一般位置直线，是一种比较重要的作图方法，常用它来解决一些比较困难的问题。 基本作图八：在一般位置平面ABC上作一点。图8 一般位置平面上取点取在平面已知直线上的点一定是属于该平面的，如点D，只要使d’在a’b’上，d在ab上，则D一定是平面上的点。因为C是平面上的点，连接c’d’和cd，则CD直线一定是平面上的直线，直线上只要有两点在平面上，该直线必定在平面上。在CD直线上任取一点K，即在c’d’上任取一点k’，根据基本作图三，作出水平投影k，则K点也必定是平面上的点。从以上作图可以看出，取点和取线彼此是不可分的。 基本作图九：在铅垂面ABC上任作一条直线DE。图9 垂直面上取线在特殊位置平面上取点、取线可充分利用其投影有积聚性的特点。△ABC的水平投影有积聚性，是一条直线，所取的点只要保证其水平投影在该直线上，则该点一定在平面上。如图9a中的点E（e’，e）和点D（d’，d）均为△ABC上的点。连接d’e’，de，得属于△ABC的直线DE。图9b所示，当铅垂面用迹线来表示时，取点、取线的作法。注意e’和d’在正投影面中的高度，并不影响点在平面中的结论。 基本作图十：在一般位置平面ABC上，作正平线和水平线。图10 在一般位置平面上作正平线和水平线过B作平面ABC内水平线的步骤：1）所求直线是水平线，其投影应符合水平线的投影特性，其正面投影应平行于X轴。因此作b’d’平行于X轴。2）同时所求直线是平面ABC上的线，其上已知B点是平面上的点，现只要保证D点在平面上即可。过d’作X轴垂线，延长交ac于d，则D点是边AC上的点，也即是平面ABC上的点。3）连接bd，则直线BD（b’d’，bd）即为所求。同理过C作平面ABC内正平线。步骤略，请读者自行分析作图。 基本作图十一：过空间一点任作一个平面。图11 过空间一点作平面过一点可作无数个平面。根据平面的表示法，如图11b所示，过A作两条相交直线AⅠ、AⅡ，则它们就表示一个过A点的平面。若将Ⅰ、Ⅱ点联接，则是用三角形表示的过A点的平面。 基本作图十二：过空间一点作一正平面。图12 过空间一点作正平面根据正平面的投影特性，在基本作图十一的基础上，使平面的水平投影为一条平行于投影轴的直线即可，如图12a所示。图12b所示为当用迹线表示过A点的正平面时的情况。至于作其它平行面，如水平面、侧平面方法与此类同。 基本作图十三：过直线任作一个平面。图13 过直线作平面过一条直线可以作无数个平面。根据平面的表示方法，只要在直线外再加一点，如图13a所示点C，则直线及直线外一点，就构成一个平面。也可以用相交两直线或三角形的方式来构成平面。 基本作图十四：过一般位置直线作一个垂直面。以作铅垂面为例。一个平面中若包含一条垂直于H面的直线，则该平面必为铅垂面，所以构造一条与已知直线AB相交的铅垂线CD，则AB、CD两相交直线构成了一个铅垂面，如图13b。如果铅垂面用迹线来表示，只要使水平面迹线过ab即可。如图13c所示。至于作其它投影面的垂直面，方法与此类同。 基本作图十五：过空间一点，作平面ABC的平行线。图14 作直线平行于平面只要过K点任作一条直线平行于平面中的一条直线即可。可以直接利用三角形的边。作图步骤：1）过k’作d’e’平行于a’c’；2）过k作de平行于ac，并注意d’d，e’e要垂直于投影轴。 基本作图十六：判断一条直线是否平行与一个平面。图15 判断直线是否与平面平行已知一条一般位置直线DE，和一个平面ABC，如图15a所示。判断一条直线是否平行于一个平面，要看它是否平行于平面中一条直线。作图步骤如下：1）在△ABC中任作一条直线1’2’平行于d’e’，1’在a’b’上，2’在b’c’上。2）作出Ⅰ、Ⅱ两点的水平投影1、2，分别在ab和bc上。3）连接12，现12与de不平行，可知平面内直线ⅠⅡ与DE不平行，所以，DE不平行于平面ABC。由于ⅠⅡ线是在平面中任作的，也就是说在平面中不存在这样一条平行线，所以结论成立。 基本作图十七：过一点作一平面平行与一条已知直线。图16 作平面平行与一条已知直线已知一般位置直线AB及一点K。过K点可以作无数个面与AB平行，但这些面中至少应包含一条AB的平行线。因此首先作出一条AB的平行线，然后再根据平面的表示法创建出一个平面。如图16a所示，过K点再任作一条直线，与AB的平行线相交，则两条相交直线构成一个AB的平行面。如图16b所示，如果过K作的直线是一条正垂线KC，由KC与AB的平行线构成的平面，是一个平行于AB的正垂面。同理也可以构建垂直于其它投影面的平面。如图16c所示，用迹线表示的平行于AB的正垂面，注意PV应与a’b’平行。 基本作图十八：判断空间两已知平面是否平行。图17 判断两平面是否平行如图17，已知两平面ABC和DEF，判别两平面是否平行，可先在一个平面中作一对相交直线，看在另一平面中能否作出相应的一对相交直线与其平行。一般在这类问题中，作的相交直线总是选择作平面中的水平线和正平线。从图17可以看出，两对相交直线彼此平行，所以这两个平面是平行平面。 基本作图十九：过空间一点作一平面与一已知平面平行。图18 作平面平行与平面如图18a所示，已知一平面是由一对平行线AB、CD组成的，并已知一点K，过K作一平面欲与已知平面平行，只需作一对相交直线，平行与平面中的相交直线即可。作图步骤：如图18b所示。1）作过K点的ⅠⅡ线平行于AB或CD；2）在已知平面中任作一条直线MN，使与AB、CD相交；3）过K作Ⅲ Ⅳ线平行于MN，则ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ所构成的平面即为所求。 基本作图二十：一般位置直线与特殊位置平面相交求交点，并判断直线的可见性。图19 一般位置直线与铅垂面相交求交点如图19a所示，已知一般位置直线DE，和一个铅垂面ABC，求它们的交点，并判别可见性。对于特殊位置的平面或直线可利用它们有积聚性的投影直接求出交点。作图步骤：如图19b。1）因为交点是平面上的点，所以它的水平投影一定在abc这条直线上；同时交点也是直线上的点，所以它的水平投影一定在de上，交点是它们的共有点，所以交点的水平投影在它们的交点k上。2）通过k可以求出k’，它应在d’e’上。则交点求解完毕。3）判别可见性。主要是判别正面投影直线与平面重叠的部分，以交点作为分界，哪一段被平面遮挡因而不可见，不可见的需改画成虚线。利用平面的特殊性，从平面的水平投影比较容易看出，EK这一段线在平面ABC的前面，因此在正面投影上e’k’应是可见的，没有被面遮挡。那另一段DK必然在平面ABC的后面，因此和面重叠的部分为不可见。以上是直观的方法。还有一种通用的方法是利用重影点的方法。如图中可看出，直线DE与平面ABC的边AC和BC各有一个重影点（注意那不是交点），重影的点一个是直线上的点，一个是平面上的点，通过判断这两个点，哪个在前，就可以判断出哪段直线在平面的前面，相应的就可知哪段直线可见。如Ⅰ、Ⅱ这两个重影的点，可假设Ⅰ是直线DE上的点，Ⅱ是边AC上的点，利用在点的投影一节中学过的重影点的判别方法，可知1’可见，2’不可见，因而知直线EK段在平面ABC的前面，因而可见，则直线的另一段必在平面的后面。图19c为铅垂面用迹线来表示时，交点的求法。 基本作图二十一：特殊位置直线与一般位置平面相交求交点，并判断直线的可见性图20 正垂线与一般位置平面相交求交点如图20a所示，直线为正垂线，平面为一般位置平面。利用直线的积聚性可知交点的正面投影k’，再利用K点也是平面上的点的性质，利用面上取点的方法，可求得k，如图20b所示。可见性的判别，是判别水平投影上直线与平面重叠的部分，以交点为分界点，哪一段不可见。直接观察有一点困难，可以利用图中所示的两个重影点之一，可以判别出直线上KD段在平面的下方，因而与平面重叠部分为不可见。 基本作图二十二：一般位置平面与特殊位置平面相交，求交线并判别可见性。图21 一般位置平面与正垂面相交求交线如图21a所示，平面ABC为一般位置平面，平面DEFG为正垂面。平面与平面求交线，可将问题转化为直线与平面相交求交点的问题。本例中平面DEFG与△ABC的边AB和AC相交，若求出它们的交点，则它必是两个面交线上的两个点，而知道一条线上两个点，则这条线也唯一的确定了。根据前述求交点的方法，如图21b所示，利用平面DEFG正面投影有积聚性的特点，求出AB与平面的交点M，AC与平面的交点N，连接mn及m’n’，则交线MN求毕。判别可见性。两个平面应一个面一个面依次进行。首先判别△ABC上各边的可见性。AB上哪段不可见，再判别AC上哪段不可见，BC边未参与相交，并且B、C两点均在平面的上方，所以BC边可见。其次判别平面DEFG各边的可见性。由于四边形各边均在△ABC之外，未被遮挡，因而都是可见的。图21c所示为当正垂面为迹线表示时，交线的求法。 基本作图二十三：一般位置平面与一般位置直线相交，求交点并判别可见性。图22 一般位置直线与一般位置平面相交求交点求一般位置直线与一般位置平面相交的问题，需借助辅助平面来解决。见图23原理图，直线AB与一般位置平面CDE相交，先过一般位置直线AB作一正垂面P，该面与平面CDE相交，得一交线FG，FG与直线AB产生交点K，则K点必是直线AB与平面CDE的交点。图23 求线面相交辅助平面原理图图22作图步骤：1）过一般位置直线DE作一个正垂面P，用迹线表示比较方便，作图方法见基本作图十四；2）求出P平面与平面ABC的交线MN，作图方法见基本作图二十二；3）求出MN与DE的交点K，则直线与平面的交点求毕。4）判别可见性。直线与平面在正面投影与水平投影上均有重叠，所以都要判别可见性，判别的方法是利用直线与△ABC边的重影点，先判别正面投影，然后再判别水平投影。方法见基本作图二十。 基本作图二十四：两个一般位置平面相交求交线，并判别可见性。图24 两个一般位置平面相交求交线一般位置平面与一般位置平面相交求交线的问题同样可以转化为线面相交求交点的问题。如图24a所示，△ABC和△DEF相交求交线可以先求出△DEF的DE边和DF边与△ABC的交点（反过来也一样），则它们必定是交线上的两点，连接两点则就是需要求的交线。图24b作图步骤如下：1）分别求出DE、DF与△ABC的交点M、N，方法见基本作图二十三；2）分别连接m’n’和mn，得交线MN。3）判别可见性。两个平面在正面投影和水平投影上均有重叠，所以均需判别可见性。判别时，三角形凡参与相交的边都需要判别，注意不要漏掉任何一条边。为使思路清楚起见，先从一个面入手，判别清楚后，再判别另一个面。下面以正面投影为例，来讲解判别的方法。先从△DEF入手。该三角形上只有DE和DF边参与了相交。找一个重影点，如1’所在的重影点，它是AC边上的点与DE上的点的重影。找出它们的水平投影（图中略）可看出AC边上的点在DE边上的点的前面，因此在正面投影的1’处，DE上的点不可见，因此可推出1’m’这段线都应在△ABC的后面，即不可见。因为M是交点，如果在它们之间还有点在△ABC的前面，那么必然还有一个交点，而这是不可能的。因为m’n’是交线的正面投影，再次推论可知，DF边上3’n’也应不可见，因为它与1’m’同属一个三角形，并在交线的同一侧。EF边未参与相交，并未被遮挡，因而可见。再判别△ABC各边。从刚才重影点的判别知AC边可见。AB边由于和△DEF可见部分重叠，因此必然重叠处不可见。BC边未被遮挡，因而可见。对于水平投影的判别方法与此类似。 基本作图二十五：过空间一点，作特殊位置平面的垂线。图25 作直线垂直于特殊位置平面以过点向铅垂面作垂线为例。如图25a所示，平面ABCD是铅垂面，过K点垂直于它的直线必然是水平线。由此可知，欲作的垂线其正面投影应是平行于投影轴的直线。由于垂线垂直于直线AB或CD，而AB、CD是水平线，根据直角投影定理，垂线与AB或CD的水平投影彼此垂直。因此作图步骤是：1）过k作kl垂直于ab或cd，l同时也是垂线与平面交点的水平投影；2）过k’作k’l’平行于投影轴，注意l’与l的连线应垂直于投影轴。图25b当铅垂面用迹线表示时的作图。 基本作图二十六：过空间一点，作一般位置平面的垂线。图26 作直线垂直于一般位置平面作一般位置平面的的垂线，无法直接作出，根据直线垂直于平面的条件，需垂直于平面中的两条相交直线，为便于应用直角投影定理，在平面内构建由一条水平线和一条正平线组成的交线，然后作同时垂直于它们的直线。如图26，作图步骤：1）过C点作水平线CD，得c’d’和cd。2）因垂线应垂直于CD，根据直角投影定理，它们的水平投影应互相垂直，所以过k作kl垂直于cd。不够长可以延长。3）过B点作正平线BE，得b’e’和be。4）因垂线也应同时垂直于BE，根据直角投影定理，它们的正面投影应互相垂直，所以过k’作k’l’垂直于b’e’，则k’l’和kl两投影所表示的空间KL直线，就是所求的平面ABC的垂线。 基本作图二十七：过定点作一平面垂直于一般位置平面。图27 过点作一平面垂直另一平面作图步骤：如图27。1）过已知点S作平面ABC的垂线SN，得s’n’和sn，作法见基本作图二十六。2）过S点任作一直线SM，则SM与SN构成的平面即为所求。因为包含SN的平面都是垂直于平面ABC的平面，所以该问题有无数多解。 基本作图二十八：棱柱投影的作法。图28 棱柱立体图及投影图图29 棱柱的投影图以三棱柱为例。该棱柱摆放的方式是棱柱的三条棱均垂直于H面，这时上下两平面均平行于H面，同时使ABDE面平行于V面。一般在画立体投影时，应尽可能使立体上较多的面处于平行于投影面的位置，这样能较多的反映实形。棱柱一共有五个面，依次作出这五个面的投影。如图29a，平面ABC与平面DEF均为水平面，因此它的正面投影和侧面投影均为直线，由于它们大小相同，所以水平投影完全重合，对于重合的投影只需画一次，并不需要画多遍。在画立体的投影图时，应注意每个投影图上均应同时存在立体上所有面的投影，这可作为检查投影图中是否漏画的依据。如侧面投影是一个矩形，但在它上面有五个面的投影，ABC和DEF面在矩形的上下二个边；ABED面是矩形左侧的边；ADFC和BCFE完全重叠，就是这个矩形本身。从立体图图28可以想见，投影面离立体的远近，并不改变立体投影的形状和大小。因为我们主要研究的是立体本身，因此在绘制立体的投影图时，可以不去考虑立体与投影面的关系，可以省略绘制投影轴。虽然没有投影轴了，但三个投影之间的投影关系不能变，如图29b所示，正面投影与水平投影：长对正；正面投影与侧面投影：高平齐；水平投影与侧面投影：宽相等。长对正，高平齐，宽相等，这三句话是衡量投影图投影关系是否正确的最主要的标志，应该牢记。绘三个投影图时，只要遵守上面的投影关系就可以，至于投影图之间的远近是不重要的，应根据图纸的布局而定。如果习惯了在水平投影与侧面投影之间利用45°辅助线作图，也可通过如图29b的方法作出，即在两投影图上找到同一点的两个投影，如e和e”，过e作平行于假想X轴的直线，过e”作平行于假想Z轴的直线，得到交点，从交点处作45°斜线。注意45°辅助线并不是可以随意在水平投影和侧面投影之间任意作出的。同理可作棱锥、棱台的投影。 基本作图二十九：平面立体表面取点的作图。图30 三棱锥表面取点以三棱锥为例。在三棱锥上有两个点D和E，已知它们的正面投影d’和e’，现要作出它们的另两面投影。作图步骤：1）因为D点在棱SB上，可用基本作图三的方法，作出其水平投影d和侧面投影d”，注意侧面投影SA棱与SB重叠。2）从E的正面投影可见（不可见的点加括号）知点在面SAC之中，利用面上取点的方法，见基本作图八，可求出它的另两面投影。具体步骤是：连接s’e’延长交a’c’于一点1’，在水平投影ac上作出1，连接s1。则E点的水平投影必在这条线上，作出e。根据宽相等，即图中的Y相等，作出s”1”，或借助45°线作出也可以。S的侧面投影必在这条线上，作出e”。 基本作图三十：平面立体表面取线的作图。图31 棱锥表面取线如图31，已知在棱柱的水平投影中有一条线的投影mn，现在需作出其另两面投影。从投影图中可见mn为可见，所以可以断定线在棱柱的上表面。同时也可以看出，它跨了ABEF和BCDE两个面，因此在BE棱处线必定会有转折，因此MN线，并不是一条直线，而是由两段直线组成的。作图步骤：1）首先求三个点的投影M、N、Ⅰ。M、N是直线的首尾，Ⅰ点是与棱BE的交点，是它的转折点，这三点都是关键点。M点所在的平面是正垂面，它的正面投影有积聚性，是一条斜线，m’也必定在这条线上。由m、m’可以求出m”。N点所在平面是水平面，其正面投影和侧面投影均为直线，因此可方便的求出n’和n”。Ⅰ点在棱BE上，BE是一条正垂线，其正面投影是一点，因此1’也在这点上，与b’e’重叠。再由1、1’求出1”。2）依次连接各点，注意连点的顺序。只能同一面中的点相连。连点时可根据已知的水平投影的顺序，如水平投影是m1、1n，所以其它投影是m’1’、1’n’；m”1”、1”n”。其中除m”1”外，其余的均与其它投影重叠。 基本作图三十一：圆柱表面取点的作图。图32 圆柱体表面取点如图32a所示，在圆柱表面有四个点，已知它们的正面投影，求作另两面投影。在圆柱表面取点关键的是要利用好圆柱有积聚性的那个投影。作图步骤：图32b1）求点A的投影。点A在正面转向线上，因此可直接作出a和a”。2）求点B的投影。b’可见，知点B应在前半个圆柱，并且在水平投影的圆上，所以过b’作X轴垂线，得b。由b’和b，借助45°线作出侧面投影b”，由于点B在左半个圆柱，因此b”为可见。3）求点C的投影。点C在侧面转向线上（注意不是在轴线上），因此也可直接作出c和c”。4）求点D的投影。由d’可知，D不可见，因此D在圆柱的后半面，过d’作X轴垂线，得d。由d’ 和d可作出d”，由于D同时在右半个圆柱，所以d”不可见，应加括号。 基本作图三十二：圆锥体表面取点的作图（素线法、纬线圆法）。 图33 圆锥表面取点原理图 图34问题 图35 圆锥体表面取点之素线法图36 圆锥体表面取点之纬线圆法圆锥表面取点根据所用方法不同，分为两种方法：素线法和纬线圆法。图33可见，在圆锥表面任一点都存在着一条素线和一个纬线圆，利用它们便可方便求出点的投影。图35是素线法的示例。从顶点s’出发，过m’作一条直线，与底面圆交于一点a’，s’a’便是一条过M点素线的正面投影。在底面圆上作出a，连接sa，注意sa应在圆锥的前面，因为m’可见，因此素线应在前半个圆锥面上。再作出s”a”，则m和m”便可作出。图36是纬线圆法的示例。作出过M的纬线圆的三个投影，再根据M点在前半个圆锥，作出其另两面投影。作图时应特别注意两点，素线一定要过锥顶，对于锥台无锥顶，可假想将锥顶画出再作。纬线圆法与素线法作出的结果是一样的，作图根据方便采用一种方法即可。对于落在特殊位置如转向线、底面圆上的点，可直接作出，而不需要采用这两种方法。 基本作图三十三：圆球表面取点的作图。图37 圆球体表面取点从图37a可知M点在水平投影可见，因此它应处在上半球，并且还处在后半球和右半球，因此它的正面投影和侧面投影均是不可见的。在水平投影上作过m的纬线圆的水平投影，此处采用平行H面的纬线圆，如图37b。找到纬线圆的正面投影和侧面投影，作出m’和m”，注意应加括号。 基本作图三十四：圆环表面取点的作图。图38 圆环表面取点由题图图38a可见，在圆环的正面投影和水平投影各有一个点的投影，现要分别求出它们的另一面的投影。点A在正面投影可见，可知它应在外圆环面的前半个圆环上，同时也可见它在下半个圆环面上，因此它的水平投影不可见。点B在水平投影可见，知其在上半个圆环面上，同时也可见它处于内部圆环面，所以它的正面投影也应不可见。作图方法，是借助于它们所在的纬线圆来求点，正确的作出纬线圆是作图的关键，见图38b。 基本作图三十五：回转体表面取线。图39 圆锥体表面取线图39a中圆锥的轴线垂直于侧面，所以它在侧面的投影是一个圆。在圆锥表面有一条线，它的水平投影是一条直线，但它在空间不会是一条直线，而是曲线。回转体表面取线作图的基本方法是，在曲线上取若干个点，分别求出这些点的投影，然后将同面投影依次光滑连接。作图步骤：图39b1）首先先求特殊点的投影。所谓特殊点即是那些起着界定曲线的边界，处于转向线或有积聚性投影上的点。点B在圆锥水平投影的后部转向线上，因此可直接作出b’和b”，其中b’不可见。点Ⅰ在正面投影转向线上，由于曲线水平投影可见，可知1也可见，所以1’应在圆锥上部。求出1”。点A在此用纬线圆来作辅助线。注意点A在圆锥的上、前半个。所以a’、a”均可见。2）求一般点。如在1和b之间任取一点2，此例用素线法求出2’ 、2”，2’不可见。为了精确还可以再取一些一般点，本例略。3）依次连接。连接时为避免连错可参考已知的水平投影上点的次序。不可见的部分应连成虚线，如正面投影上1’2’b’这段曲线。注意连线时应连成光滑的曲线，不应是直线。 基本作图三十六：求平面立体的截交线。图40 棱柱求截交线如图40a所示一个八棱柱被一个正垂面所截，求被截后立体的三面投影。分析：因为截平面是正垂面，所以截交线的正面投影已知，积聚在p’上。八棱柱的的八个面均垂直于侧面，所在截平面与八个面产生的交线均积聚在八个面的侧面投影上，所以截交线侧面投影已知，是p”所示的线框。作图：1）标出截平面与八个棱相交的八个交点的正面投影1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’和侧面投影1”、2”、3”、4”、5”、6”、7”、8”。2）由投影关系求出它们的水平投影。3）依次将水平投影连成线框，次序可参考侧面投影。见图40b。4）擦去被截掉的多余的棱线的水平投影，如图40c。5）检查正确性，可通过类似形来检查，正垂面的水平投影和侧面投影应该是类似的。 基本作图三十七：用直接作投影法求截交线的作图。图41 圆柱截交线的求法分析：图41所示圆柱被正垂面所截，正是圆柱截交线的第二种形式。正垂面在正面的投影是直线，所以截交线的正面投影已知。同时截交线是圆柱表面的线，所以它的水平投影就是圆，也已知。当截交线的两个投影已知，求第三个投影时，就可以用直接作投影法去求。作图：1）在截交线的水平投影上任取若干个点，本例是均匀的取了八个点，等分圆周。这些点当中应当包括在转向线上的点。1、2、3、4、5、6、7、8即为八个点的水平投影。2）向上作投影线，找到它们的正面投影：1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’ 。3）已知两个投影求第三投影，直接求出它们的侧面投影1”、2”、3”、4”、5”、6”、7”、8”。4）光滑连接侧面投影，注意它们的可见性。截面的倾斜方向使这八个点在侧面均可见，因此截交线全部为可见。由于已知此时截交线的形式是椭圆，也可以只求出1、3、5、7这四个点后，直接用已知长短轴的方式作椭圆。 基本作图三十八：用面上取点法求截交线的作图。图42 圆锥截交线的求法分析：如图42圆锥被一正垂面所截，因此其正面投影已知，另两面投影未知。因截交线是圆锥表面的线，知其一面投影即可用面上取点法来求出其另外两面投影。作图：1）先求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个位于转向线上的点的投影。2）在截交线正面投影上任取一点，即是两个重影点的投影，标记5’6’，它即是Ⅴ、Ⅵ的正面投影。其另两面投影可用基本作图三十二方法求出。依次可作出若干点，略。3）光滑连接各面投影，并判别可见性，不可见的连接成虚线。本例均可见。 基本作图三十九：求平面立体与平面立体的相贯线。图43 四棱柱与三棱锥的相贯线以图43所示的一个三棱锥与一个四棱柱相贯为例。分析：四棱柱上只有三个面与三棱锥相交，如图中所标的P1、P2、P3面。P1、P2是水平面；P3是正平面。分别求出这三个面的截交线，即求出了两个立体的相贯线。作图：1）求出P1面的截交线ⅠⅢ、ⅠⅣ。Ⅰ是与棱SC的交点。Ⅲ、Ⅳ由四棱柱上的棱来确定，同时注意它们的正面投影与侧面投影分别与相应的四棱柱的投影重合，水平投影13∥ac，14∥bc。2）求出P2面的截交线ⅡⅤ、ⅡⅥ。方法与原理同上。3）求出P3面的截交线ⅢⅤ、ⅣⅥ。因为四点Ⅲ、Ⅴ、Ⅳ、Ⅵ已经求出，直接连接即可。4）检查可见性。正面投影，3’5’ 、4’6’被四棱柱遮挡，不可见，同时三棱锥的棱s’a’ 、s’b’也有一部分不可见。1’2’之间的棱的投影应擦去。水平投影，25、26不可见，ac 和bc上被四棱柱被遮挡部分也不可见。12之间的棱的投影应擦去。图44 四棱柱为空时与三棱锥的相贯线图44所示为当四棱柱为空时的相贯线的求法。从图中可看出，求的方法与上面完全相同，只是在最后连线时，因为各相贯线均可见，所以均应连成实线。图44中的立体也可以看成是三棱锥被三个截平面所截求截交线的例子。由此可见，相贯线与截交线并不是毫不相关的，有平面立体参与的相贯，它们的相贯线均是由一段段的截交线组成的。下面平面立体与回转体的相贯也是一样。 基本作图四十：求平面立体与回转体的相贯线图45 求三棱柱与圆柱相贯的相贯线以三棱柱与圆柱求相贯线为例，图45a。分析：因为有平面立体参与相贯，所以问题可转化为三棱柱上三个面与圆柱求截交线的问题。这三个面中ABEF面是正平面，其与圆柱的截交线是一段直线；AECD面是侧平面，其截交线是一段圆弧；BFCD面是铅垂面，其截交线是椭圆上的一部分，即椭圆弧。由于三个面均垂直于水平面，所以相贯线的水平投影已知，即是直角三角形。又由于相贯线是圆柱表面的线，所以其侧面投影也已知，即是三棱柱范围内的那段圆弧。只需求出正面投影。作图：1）先求特殊点。先确定D、E、F及Ⅰ（1’、1、1”）点，Ⅰ点是圆柱正面投影转向线上的点。2）连接e’f’即是正平面所截的截交线，不可见。连接d’a’e’，即是侧平面的截交线。d’1’f’是铅垂面截交线上的三个点，还需再求一般点，如图45b所示，用直接作投影法求一般点Ⅱ（2”、 2 、2’），还应再求一些一般点，本例略。3）光滑连接。d’2’1’这段弧线可见，连实线；1’f’这段不可见，连虚线。4）检查棱柱各棱线及圆柱投影。1’右部的圆柱的转向线未与棱柱相交，所以应继续存在，还应画出。f’b’棱一部分被圆柱挡住，应绘成虚线，见图45b放大图。图45c所示为当三棱柱是挖进圆柱内部时，投影的画法。请读者仔细对照研究。 基本作图四十一：求回转体与回转体的相贯线（表面取点法\辅助平面法）1. 圆柱与圆柱相贯图46 求圆柱与圆柱的相贯线 图47 圆柱与圆柱相贯立体图图46a为两圆柱相贯。根据两圆柱摆放的位置，一个圆柱的轴线垂直于水平面，一个圆柱的轴线垂直于侧平面。再根据相贯线是两圆柱表面的共有线，知它们相贯线的水平投影和侧面投影均已知。水平投影是一个圆，侧面投影是小圆柱范围内的一段圆弧。已知相贯线的两面投影求第三面投影，所以可以用表面取点法或直接作投影法来求出正面投影。作图：图46b，先求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个小圆柱上转向线上的点的正面投影，然后再求一般点Ⅴ、Ⅵ的正面投影，还可以取更多的一般点，本例略。图47所示为当小圆柱为空时，其相贯线形状不变，因为两圆柱的大小及相交的位置没有变。但应注意大圆柱内孔的投影应画虚线。2. 圆柱与圆锥相贯图48 求圆柱与圆锥的相贯线图48a为圆柱与圆锥相贯的例子。因圆柱轴线垂直于侧面，所以相贯线的侧面投影已知，即是圆。另两投影未知。当相贯线已知一个投影时，仍然可以用面上取点法来求相贯线其它的投影。见图48立体图，把相贯线看成是圆锥表面的一条封闭曲线来求其另两面的投影。作图：先求特殊点：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为圆柱转向线上的点。如图48b。已知1”、2”可直接作出1’、2’和1、2。由3”、4”需借助纬线圆，求出3、4，再求出3’、4’。再求一般点。为了减少作投影线，可如图所示的那样用一条投影线同时取5”、6”，在水平面作出过5、6两点的同心圆，圆的大小依据侧面投影，即可求出5、6，再求出正面投影。同理继续求其它的一般点，本例略。光滑连接各点。应注意顺序与可见性。3 、5、1、 4 为可见，连成实线，其余不可见，连成虚线。同时，水平投影上，被圆柱挡住的圆锥的底面圆，有一段也不可见，改画成虚线。正面投影可见部分与不可见部分完全重叠，所以只画实线。图48c所示，为圆柱变为通孔时的截交线的情况。注意可见性的变化。圆柱与圆柱相贯、圆柱与圆锥相贯也可以用辅助平面法来解。请读者思考，尝试作图，辅助平面法的具体应用见下例。3. 圆锥与球相贯图49 圆锥与半球的相贯线如图49a所示，圆锥与半球相贯，相贯线三面投影均未知，所以无法用面上取点法求解，只能用辅助平面法。用辅助平面法解题时，在选择辅助平面时应注意考虑辅助平面截两个回转体所产生的平面图形是否容易作出。如图50所示。辅助平面P是侧平面，通过锥顶截圆锥是三角形，截球是半圆，这是比较合适的，但其它的侧平面则不合适了，因为其截圆锥是双曲线。辅助平面Q是水平面，截圆锥及球都是圆，因此是合适的，其它的水平面也同样合适。作图：1）求特殊点。Ⅰ、Ⅱ两点，是圆锥与圆球正面转向线的交点，因此可首先求出其三面投影。圆锥侧面转向线与球的交点，需借助辅助平面P来求出，见图49b。先求出3”、4”，再求出3’、4’，与圆锥轴线重叠，再求出3、4。2）求一般点。作辅助面水平面Q，作出其与圆锥、圆球的交线圆的水平投影，其交点即为相贯线上的两点5、6，作投影线求出5’、6’和5”、6”。同理还可以求出更多的一般点，本例略。3）连接各点，并注意判别可见性。对于水平投影，因为圆锥面和半球的表面均可见，所以相贯线也可见，全用光滑曲线连为实线。侧面投影，3”2”4”曲线处在右半个圆锥，因此不可见，5”1”6”曲线处在左半个圆锥，因此可见。同时注意，圆球侧面转向线上被圆锥挡住的部分也应是虚线。4）检查加深。将多余的轮廓线擦去。图50 用辅助平面法解锥球相贯问题
基本作图一：已知点的两面投影求第三面投影。图1 求点的第三面投影如图1a已知点A的正面投影和侧面投影，求其水平投影。作图步骤如下：首先根据点的投影的第一条规律，点的水平投影与正面投影的连线必垂直于X轴，所以过a’作X轴的垂线，如图1b。再根据第二条规律，a到X轴的距离等于a”到Z轴的距离。为作图方便，过O作45度分角线，过a”作Yw轴垂线并延长与分角线相交，再作Yh的垂线，与前一步作的直线相交，交点即为水平投影a。 基本作图二：求直线的实长及与正平面的夹角β。图2 求实长作图如图2左，已知直线的二个投影，现要求直线的实长及与正面的夹角。作图步骤如下： 1）在水平投影，过b作X轴的平行线与直线相交；2）在正面投影，过b’作a’b’的垂线，使其长度等于如图右所示长度，即两端点的Y坐标差；3）连接形成直角三角形的斜边，则斜边长为实长，斜边与a’b’的夹角为β角。 注意两点：一是三角形可以作在图面任何位置，图中直接作在正面投影上，是为了少画一个直角边；二是夹角一定是斜边与a’b’边的夹角，它的大小等于真实的直线与正面的夹角，但并不表示直线在图上所示位置与V面相交。 基本作图三：在直线AB上作一点C，并把直线分成AC:CB=2:1。图3 作图三作图步骤如下：1）过a任作一直线段，并事先取得三个等距段，在每个等距点上标记，如1、2、3。2）连接3b，并过2、1分别作它的平行线与ab相交，标记2的平行线与ab的交点为c，即点C的水平投影。3）过c作X轴的垂线，延长与a’b’相交得到交点，标记c’，点C的正面投影，求出投影相当求出了C点。 基本作图四：过空间一点C作一条直线CD与已知直线AB相交图4 过点作直线相交作图步骤如图4b所示：1）由于过一点可作无数条直线与已知直线AB相交，现在是任作一条。过c’作任一直线c’d’与a’b’ 相交于d’。2）过d’作投影轴的垂线并延长交ab于d。3）连接cd，并延长。作直线与直线相交的关键是要保证直线投影的交点，是直线在空间交点的投影。 基本作图五：过点C作一条直线CD与已知直线AB平行图5 过点作平行作图步骤如5b所示：1）过c’作c’d’平行于a’b’；2）过c作cd平行于ab；3）使d’和d在一条垂直于投影轴的直线上。这是保证d’和d是空间D点的两个投影，至于c’d’画多长是无关紧要的。 基本作图六：过空间一点，作一条直线与正平线垂直相交。图6 作直线与正平线垂直相交分析：图6a，直线AB为正平线，C为空间一已知点。现要求过C作一条直线垂直于AB，设该直线为CK。根据直角投影定理，CK的正面投影与AB的正面投影必垂直。由于过C可以做无数条垂直于AB的直线（包括交叉垂直），所以CK的水平投影有无数种情况。但本作图要求的是垂直相交，所以，CK的水平投影必须要满足相交的条件，因此情况只能是一种。作图步骤如下：1）过c’作a’b’的垂线，与a’b’的延长线相交于一点k’，即为交点的正面投影；2）过k’作投影轴的垂线与ab的延长线交于一点k，即为交点的水平投影；3）连接ck。则c’k’和ck即为所求垂线的两个投影。 基本作图七：过空间一点，任作一条直线垂直于已知的一般位置直线。图7 作直线垂直于一般位置直线分析：图7a所示，AB为一般位置直线，C为空间一已知点。如前述，过空间一点可作无数条直线垂直于已知直线，本作图要求是任作一条，可根据直角投影定理直接作平行线垂直于它。作图步骤如下：见图7b1）首先作一条水平线垂直于AB。因为是水平线，所以它的正面投影应该平行于投影轴，作c’1’平行于投影轴。2）由于它们的投影在水平面成直角，所以作c1垂直于ab。3）注意使1’1要垂直于投影轴，即要符合投影规律。同理还可以作一条正平线C2垂直于直线AB。应该注意，这两条平行线均不与AB相交，它们与AB的关系是交叉垂直。作这样两条平行线垂直于一般位置直线，是一种比较重要的作图方法，常用它来解决一些比较困难的问题。 基本作图八：在一般位置平面ABC上作一点。图8 一般位置平面上取点取在平面已知直线上的点一定是属于该平面的，如点D，只要使d’在a’b’上，d在ab上，则D一定是平面上的点。因为C是平面上的点，连接c’d’和cd，则CD直线一定是平面上的直线，直线上只要有两点在平面上，该直线必定在平面上。在CD直线上任取一点K，即在c’d’上任取一点k’，根据基本作图三，作出水平投影k，则K点也必定是平面上的点。从以上作图可以看出，取点和取线彼此是不可分的。 基本作图九：在铅垂面ABC上任作一条直线DE。图9 垂直面上取线在特殊位置平面上取点、取线可充分利用其投影有积聚性的特点。△ABC的水平投影有积聚性，是一条直线，所取的点只要保证其水平投影在该直线上，则该点一定在平面上。如图9a中的点E（e’，e）和点D（d’，d）均为△ABC上的点。连接d’e’，de，得属于△ABC的直线DE。图9b所示，当铅垂面用迹线来表示时，取点、取线的作法。注意e’和d’在正投影面中的高度，并不影响点在平面中的结论。 基本作图十：在一般位置平面ABC上，作正平线和水平线。图10 在一般位置平面上作正平线和水平线过B作平面ABC内水平线的步骤：1）所求直线是水平线，其投影应符合水平线的投影特性，其正面投影应平行于X轴。因此作b’d’平行于X轴。2）同时所求直线是平面ABC上的线，其上已知B点是平面上的点，现只要保证D点在平面上即可。过d’作X轴垂线，延长交ac于d，则D点是边AC上的点，也即是平面ABC上的点。3）连接bd，则直线BD（b’d’，bd）即为所求。同理过C作平面ABC内正平线。步骤略，请读者自行分析作图。 基本作图十一：过空间一点任作一个平面。图11 过空间一点作平面过一点可作无数个平面。根据平面的表示法，如图11b所示，过A作两条相交直线AⅠ、AⅡ，则它们就表示一个过A点的平面。若将Ⅰ、Ⅱ点联接，则是用三角形表示的过A点的平面。 基本作图十二：过空间一点作一正平面。图12 过空间一点作正平面根据正平面的投影特性，在基本作图十一的基础上，使平面的水平投影为一条平行于投影轴的直线即可，如图12a所示。图12b所示为当用迹线表示过A点的正平面时的情况。至于作其它平行面，如水平面、侧平面方法与此类同。 基本作图十三：过直线任作一个平面。图13 过直线作平面过一条直线可以作无数个平面。根据平面的表示方法，只要在直线外再加一点，如图13a所示点C，则直线及直线外一点，就构成一个平面。也可以用相交两直线或三角形的方式来构成平面。 基本作图十四：过一般位置直线作一个垂直面。以作铅垂面为例。一个平面中若包含一条垂直于H面的直线，则该平面必为铅垂面，所以构造一条与已知直线AB相交的铅垂线CD，则AB、CD两相交直线构成了一个铅垂面，如图13b。如果铅垂面用迹线来表示，只要使水平面迹线过ab即可。如图13c所示。至于作其它投影面的垂直面，方法与此类同。 基本作图十五：过空间一点，作平面ABC的平行线。图14 作直线平行于平面只要过K点任作一条直线平行于平面中的一条直线即可。可以直接利用三角形的边。作图步骤：1）过k’作d’e’平行于a’c’；2）过k作de平行于ac，并注意d’d，e’e要垂直于投影轴。 基本作图十六：判断一条直线是否平行与一个平面。图15 判断直线是否与平面平行已知一条一般位置直线DE，和一个平面ABC，如图15a所示。判断一条直线是否平行于一个平面，要看它是否平行于平面中一条直线。作图步骤如下：1）在△ABC中任作一条直线1’2’平行于d’e’，1’在a’b’上，2’在b’c’上。2）作出Ⅰ、Ⅱ两点的水平投影1、2，分别在ab和bc上。3）连接12，现12与de不平行，可知平面内直线ⅠⅡ与DE不平行，所以，DE不平行于平面ABC。由于ⅠⅡ线是在平面中任作的，也就是说在平面中不存在这样一条平行线，所以结论成立。 基本作图十七：过一点作一平面平行与一条已知直线。图16 作平面平行与一条已知直线已知一般位置直线AB及一点K。过K点可以作无数个面与AB平行，但这些面中至少应包含一条AB的平行线。因此首先作出一条AB的平行线，然后再根据平面的表示法创建出一个平面。如图16a所示，过K点再任作一条直线，与AB的平行线相交，则两条相交直线构成一个AB的平行面。如图16b所示，如果过K作的直线是一条正垂线KC，由KC与AB的平行线构成的平面，是一个平行于AB的正垂面。同理也可以构建垂直于其它投影面的平面。如图16c所示，用迹线表示的平行于AB的正垂面，注意PV应与a’b’平行。 基本作图十八：判断空间两已知平面是否平行。图17 判断两平面是否平行如图17，已知两平面ABC和DEF，判别两平面是否平行，可先在一个平面中作一对相交直线，看在另一平面中能否作出相应的一对相交直线与其平行。一般在这类问题中，作的相交直线总是选择作平面中的水平线和正平线。从图17可以看出，两对相交直线彼此平行，所以这两个平面是平行平面。 基本作图十九：过空间一点作一平面与一已知平面平行。图18 作平面平行与平面如图18a所示，已知一平面是由一对平行线AB、CD组成的，并已知一点K，过K作一平面欲与已知平面平行，只需作一对相交直线，平行与平面中的相交直线即可。作图步骤：如图18b所示。1）作过K点的ⅠⅡ线平行于AB或CD；2）在已知平面中任作一条直线MN，使与AB、CD相交；3）过K作Ⅲ Ⅳ线平行于MN，则ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ所构成的平面即为所求。 基本作图二十：一般位置直线与特殊位置平面相交求交点，并判断直线的可见性。图19 一般位置直线与铅垂面相交求交点如图19a所示，已知一般位置直线DE，和一个铅垂面ABC，求它们的交点，并判别可见性。对于特殊位置的平面或直线可利用它们有积聚性的投影直接求出交点。作图步骤：如图19b。1）因为交点是平面上的点，所以它的水平投影一定在abc这条直线上；同时交点也是直线上的点，所以它的水平投影一定在de上，交点是它们的共有点，所以交点的水平投影在它们的交点k上。2）通过k可以求出k’，它应在d’e’上。则交点求解完毕。3）判别可见性。主要是判别正面投影直线与平面重叠的部分，以交点作为分界，哪一段被平面遮挡因而不可见，不可见的需改画成虚线。利用平面的特殊性，从平面的水平投影比较容易看出，EK这一段线在平面ABC的前面，因此在正面投影上e’k’应是可见的，没有被面遮挡。那另一段DK必然在平面ABC的后面，因此和面重叠的部分为不可见。以上是直观的方法。还有一种通用的方法是利用重影点的方法。如图中可看出，直线DE与平面ABC的边AC和BC各有一个重影点（注意那不是交点），重影的点一个是直线上的点，一个是平面上的点，通过判断这两个点，哪个在前，就可以判断出哪段直线在平面的前面，相应的就可知哪段直线可见。如Ⅰ、Ⅱ这两个重影的点，可假设Ⅰ是直线DE上的点，Ⅱ是边AC上的点，利用在点的投影一节中学过的重影点的判别方法，可知1’可见，2’不可见，因而知直线EK段在平面ABC的前面，因而可见，则直线的另一段必在平面的后面。图19c为铅垂面用迹线来表示时，交点的求法。 基本作图二十一：特殊位置直线与一般位置平面相交求交点，并判断直线的可见性图20 正垂线与一般位置平面相交求交点如图20a所示，直线为正垂线，平面为一般位置平面。利用直线的积聚性可知交点的正面投影k’，再利用K点也是平面上的点的性质，利用面上取点的方法，可求得k，如图20b所示。可见性的判别，是判别水平投影上直线与平面重叠的部分，以交点为分界点，哪一段不可见。直接观察有一点困难，可以利用图中所示的两个重影点之一，可以判别出直线上KD段在平面的下方，因而与平面重叠部分为不可见。 基本作图二十二：一般位置平面与特殊位置平面相交，求交线并判别可见性。图21 一般位置平面与正垂面相交求交线如图21a所示，平面ABC为一般位置平面，平面DEFG为正垂面。平面与平面求交线，可将问题转化为直线与平面相交求交点的问题。本例中平面DEFG与△ABC的边AB和AC相交，若求出它们的交点，则它必是两个面交线上的两个点，而知道一条线上两个点，则这条线也唯一的确定了。根据前述求交点的方法，如图21b所示，利用平面DEFG正面投影有积聚性的特点，求出AB与平面的交点M，AC与平面的交点N，连接mn及m’n’，则交线MN求毕。判别可见性。两个平面应一个面一个面依次进行。首先判别△ABC上各边的可见性。AB上哪段不可见，再判别AC上哪段不可见，BC边未参与相交，并且B、C两点均在平面的上方，所以BC边可见。其次判别平面DEFG各边的可见性。由于四边形各边均在△ABC之外，未被遮挡，因而都是可见的。图21c所示为当正垂面为迹线表示时，交线的求法。 基本作图二十三：一般位置平面与一般位置直线相交，求交点并判别可见性。图22 一般位置直线与一般位置平面相交求交点求一般位置直线与一般位置平面相交的问题，需借助辅助平面来解决。见图23原理图，直线AB与一般位置平面CDE相交，先过一般位置直线AB作一正垂面P，该面与平面CDE相交，得一交线FG，FG与直线AB产生交点K，则K点必是直线AB与平面CDE的交点。图23 求线面相交辅助平面原理图图22作图步骤：1）过一般位置直线DE作一个正垂面P，用迹线表示比较方便，作图方法见基本作图十四；2）求出P平面与平面ABC的交线MN，作图方法见基本作图二十二；3）求出MN与DE的交点K，则直线与平面的交点求毕。4）判别可见性。直线与平面在正面投影与水平投影上均有重叠，所以都要判别可见性，判别的方法是利用直线与△ABC边的重影点，先判别正面投影，然后再判别水平投影。方法见基本作图二十。 基本作图二十四：两个一般位置平面相交求交线，并判别可见性。图24 两个一般位置平面相交求交线一般位置平面与一般位置平面相交求交线的问题同样可以转化为线面相交求交点的问题。如图24a所示，△ABC和△DEF相交求交线可以先求出△DEF的DE边和DF边与△ABC的交点（反过来也一样），则它们必定是交线上的两点，连接两点则就是需要求的交线。图24b作图步骤如下：1）分别求出DE、DF与△ABC的交点M、N，方法见基本作图二十三；2）分别连接m’n’和mn，得交线MN。3）判别可见性。两个平面在正面投影和水平投影上均有重叠，所以均需判别可见性。判别时，三角形凡参与相交的边都需要判别，注意不要漏掉任何一条边。为使思路清楚起见，先从一个面入手，判别清楚后，再判别另一个面。下面以正面投影为例，来讲解判别的方法。先从△DEF入手。该三角形上只有DE和DF边参与了相交。找一个重影点，如1’所在的重影点，它是AC边上的点与DE上的点的重影。找出它们的水平投影（图中略）可看出AC边上的点在DE边上的点的前面，因此在正面投影的1’处，DE上的点不可见，因此可推出1’m’这段线都应在△ABC的后面，即不可见。因为M是交点，如果在它们之间还有点在△ABC的前面，那么必然还有一个交点，而这是不可能的。因为m’n’是交线的正面投影，再次推论可知，DF边上3’n’也应不可见，因为它与1’m’同属一个三角形，并在交线的同一侧。EF边未参与相交，并未被遮挡，因而可见。再判别△ABC各边。从刚才重影点的判别知AC边可见。AB边由于和△DEF可见部分重叠，因此必然重叠处不可见。BC边未被遮挡，因而可见。对于水平投影的判别方法与此类似。 基本作图二十五：过空间一点，作特殊位置平面的垂线。图25 作直线垂直于特殊位置平面以过点向铅垂面作垂线为例。如图25a所示，平面ABCD是铅垂面，过K点垂直于它的直线必然是水平线。由此可知，欲作的垂线其正面投影应是平行于投影轴的直线。由于垂线垂直于直线AB或CD，而AB、CD是水平线，根据直角投影定理，垂线与AB或CD的水平投影彼此垂直。因此作图步骤是：1）过k作kl垂直于ab或cd，l同时也是垂线与平面交点的水平投影；2）过k’作k’l’平行于投影轴，注意l’与l的连线应垂直于投影轴。图25b当铅垂面用迹线表示时的作图。 基本作图二十六：过空间一点，作一般位置平面的垂线。图26 作直线垂直于一般位置平面作一般位置平面的的垂线，无法直接作出，根据直线垂直于平面的条件，需垂直于平面中的两条相交直线，为便于应用直角投影定理，在平面内构建由一条水平线和一条正平线组成的交线，然后作同时垂直于它们的直线。如图26，作图步骤：1）过C点作水平线CD，得c’d’和cd。2）因垂线应垂直于CD，根据直角投影定理，它们的水平投影应互相垂直，所以过k作kl垂直于cd。不够长可以延长。3）过B点作正平线BE，得b’e’和be。4）因垂线也应同时垂直于BE，根据直角投影定理，它们的正面投影应互相垂直，所以过k’作k’l’垂直于b’e’，则k’l’和kl两投影所表示的空间KL直线，就是所求的平面ABC的垂线。 基本作图二十七：过定点作一平面垂直于一般位置平面。图27 过点作一平面垂直另一平面作图步骤：如图27。1）过已知点S作平面ABC的垂线SN，得s’n’和sn，作法见基本作图二十六。2）过S点任作一直线SM，则SM与SN构成的平面即为所求。因为包含SN的平面都是垂直于平面ABC的平面，所以该问题有无数多解。 基本作图二十八：棱柱投影的作法。图28 棱柱立体图及投影图图29 棱柱的投影图以三棱柱为例。该棱柱摆放的方式是棱柱的三条棱均垂直于H面，这时上下两平面均平行于H面，同时使ABDE面平行于V面。一般在画立体投影时，应尽可能使立体上较多的面处于平行于投影面的位置，这样能较多的反映实形。棱柱一共有五个面，依次作出这五个面的投影。如图29a，平面ABC与平面DEF均为水平面，因此它的正面投影和侧面投影均为直线，由于它们大小相同，所以水平投影完全重合，对于重合的投影只需画一次，并不需要画多遍。在画立体的投影图时，应注意每个投影图上均应同时存在立体上所有面的投影，这可作为检查投影图中是否漏画的依据。如侧面投影是一个矩形，但在它上面有五个面的投影，ABC和DEF面在矩形的上下二个边；ABED面是矩形左侧的边；ADFC和BCFE完全重叠，就是这个矩形本身。从立体图图28可以想见，投影面离立体的远近，并不改变立体投影的形状和大小。因为我们主要研究的是立体本身，因此在绘制立体的投影图时，可以不去考虑立体与投影面的关系，可以省略绘制投影轴。虽然没有投影轴了，但三个投影之间的投影关系不能变，如图29b所示，正面投影与水平投影：长对正；正面投影与侧面投影：高平齐；水平投影与侧面投影：宽相等。长对正，高平齐，宽相等，这三句话是衡量投影图投影关系是否正确的最主要的标志，应该牢记。绘三个投影图时，只要遵守上面的投影关系就可以，至于投影图之间的远近是不重要的，应根据图纸的布局而定。如果习惯了在水平投影与侧面投影之间利用45°辅助线作图，也可通过如图29b的方法作出，即在两投影图上找到同一点的两个投影，如e和e”，过e作平行于假想X轴的直线，过e”作平行于假想Z轴的直线，得到交点，从交点处作45°斜线。注意45°辅助线并不是可以随意在水平投影和侧面投影之间任意作出的。同理可作棱锥、棱台的投影。 基本作图二十九：平面立体表面取点的作图。图30 三棱锥表面取点以三棱锥为例。在三棱锥上有两个点D和E，已知它们的正面投影d’和e’，现要作出它们的另两面投影。作图步骤：1）因为D点在棱SB上，可用基本作图三的方法，作出其水平投影d和侧面投影d”，注意侧面投影SA棱与SB重叠。2）从E的正面投影可见（不可见的点加括号）知点在面SAC之中，利用面上取点的方法，见基本作图八，可求出它的另两面投影。具体步骤是：连接s’e’延长交a’c’于一点1’，在水平投影ac上作出1，连接s1。则E点的水平投影必在这条线上，作出e。根据宽相等，即图中的Y相等，作出s”1”，或借助45°线作出也可以。S的侧面投影必在这条线上，作出e”。 基本作图三十：平面立体表面取线的作图。图31 棱锥表面取线如图31，已知在棱柱的水平投影中有一条线的投影mn，现在需作出其另两面投影。从投影图中可见mn为可见，所以可以断定线在棱柱的上表面。同时也可以看出，它跨了ABEF和BCDE两个面，因此在BE棱处线必定会有转折，因此MN线，并不是一条直线，而是由两段直线组成的。作图步骤：1）首先求三个点的投影M、N、Ⅰ。M、N是直线的首尾，Ⅰ点是与棱BE的交点，是它的转折点，这三点都是关键点。M点所在的平面是正垂面，它的正面投影有积聚性，是一条斜线，m’也必定在这条线上。由m、m’可以求出m”。N点所在平面是水平面，其正面投影和侧面投影均为直线，因此可方便的求出n’和n”。Ⅰ点在棱BE上，BE是一条正垂线，其正面投影是一点，因此1’也在这点上，与b’e’重叠。再由1、1’求出1”。2）依次连接各点，注意连点的顺序。只能同一面中的点相连。连点时可根据已知的水平投影的顺序，如水平投影是m1、1n，所以其它投影是m’1’、1’n’；m”1”、1”n”。其中除m”1”外，其余的均与其它投影重叠。 基本作图三十一：圆柱表面取点的作图。图32 圆柱体表面取点如图32a所示，在圆柱表面有四个点，已知它们的正面投影，求作另两面投影。在圆柱表面取点关键的是要利用好圆柱有积聚性的那个投影。作图步骤：图32b1）求点A的投影。点A在正面转向线上，因此可直接作出a和a”。2）求点B的投影。b’可见，知点B应在前半个圆柱，并且在水平投影的圆上，所以过b’作X轴垂线，得b。由b’和b，借助45°线作出侧面投影b”，由于点B在左半个圆柱，因此b”为可见。3）求点C的投影。点C在侧面转向线上（注意不是在轴线上），因此也可直接作出c和c”。4）求点D的投影。由d’可知，D不可见，因此D在圆柱的后半面，过d’作X轴垂线，得d。由d’ 和d可作出d”，由于D同时在右半个圆柱，所以d”不可见，应加括号。 基本作图三十二：圆锥体表面取点的作图（素线法、纬线圆法）。 图33 圆锥表面取点原理图 图34问题 图35 圆锥体表面取点之素线法图36 圆锥体表面取点之纬线圆法圆锥表面取点根据所用方法不同，分为两种方法：素线法和纬线圆法。图33可见，在圆锥表面任一点都存在着一条素线和一个纬线圆，利用它们便可方便求出点的投影。图35是素线法的示例。从顶点s’出发，过m’作一条直线，与底面圆交于一点a’，s’a’便是一条过M点素线的正面投影。在底面圆上作出a，连接sa，注意sa应在圆锥的前面，因为m’可见，因此素线应在前半个圆锥面上。再作出s”a”，则m和m”便可作出。图36是纬线圆法的示例。作出过M的纬线圆的三个投影，再根据M点在前半个圆锥，作出其另两面投影。作图时应特别注意两点，素线一定要过锥顶，对于锥台无锥顶，可假想将锥顶画出再作。纬线圆法与素线法作出的结果是一样的，作图根据方便采用一种方法即可。对于落在特殊位置如转向线、底面圆上的点，可直接作出，而不需要采用这两种方法。 基本作图三十三：圆球表面取点的作图。图37 圆球体表面取点从图37a可知M点在水平投影可见，因此它应处在上半球，并且还处在后半球和右半球，因此它的正面投影和侧面投影均是不可见的。在水平投影上作过m的纬线圆的水平投影，此处采用平行H面的纬线圆，如图37b。找到纬线圆的正面投影和侧面投影，作出m’和m”，注意应加括号。 基本作图三十四：圆环表面取点的作图。图38 圆环表面取点由题图图38a可见，在圆环的正面投影和水平投影各有一个点的投影，现要分别求出它们的另一面的投影。点A在正面投影可见，可知它应在外圆环面的前半个圆环上，同时也可见它在下半个圆环面上，因此它的水平投影不可见。点B在水平投影可见，知其在上半个圆环面上，同时也可见它处于内部圆环面，所以它的正面投影也应不可见。作图方法，是借助于它们所在的纬线圆来求点，正确的作出纬线圆是作图的关键，见图38b。 基本作图三十五：回转体表面取线。图39 圆锥体表面取线图39a中圆锥的轴线垂直于侧面，所以它在侧面的投影是一个圆。在圆锥表面有一条线，它的水平投影是一条直线，但它在空间不会是一条直线，而是曲线。回转体表面取线作图的基本方法是，在曲线上取若干个点，分别求出这些点的投影，然后将同面投影依次光滑连接。作图步骤：图39b1）首先先求特殊点的投影。所谓特殊点即是那些起着界定曲线的边界，处于转向线或有积聚性投影上的点。点B在圆锥水平投影的后部转向线上，因此可直接作出b’和b”，其中b’不可见。点Ⅰ在正面投影转向线上，由于曲线水平投影可见，可知1也可见，所以1’应在圆锥上部。求出1”。点A在此用纬线圆来作辅助线。注意点A在圆锥的上、前半个。所以a’、a”均可见。2）求一般点。如在1和b之间任取一点2，此例用素线法求出2’ 、2”，2’不可见。为了精确还可以再取一些一般点，本例略。3）依次连接。连接时为避免连错可参考已知的水平投影上点的次序。不可见的部分应连成虚线，如正面投影上1’2’b’这段曲线。注意连线时应连成光滑的曲线，不应是直线。 基本作图三十六：求平面立体的截交线。图40 棱柱求截交线如图40a所示一个八棱柱被一个正垂面所截，求被截后立体的三面投影。分析：因为截平面是正垂面，所以截交线的正面投影已知，积聚在p’上。八棱柱的的八个面均垂直于侧面，所在截平面与八个面产生的交线均积聚在八个面的侧面投影上，所以截交线侧面投影已知，是p”所示的线框。作图：1）标出截平面与八个棱相交的八个交点的正面投影1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’和侧面投影1”、2”、3”、4”、5”、6”、7”、8”。2）由投影关系求出它们的水平投影。3）依次将水平投影连成线框，次序可参考侧面投影。见图40b。4）擦去被截掉的多余的棱线的水平投影，如图40c。5）检查正确性，可通过类似形来检查，正垂面的水平投影和侧面投影应该是类似的。 基本作图三十七：用直接作投影法求截交线的作图。图41 圆柱截交线的求法分析：图41所示圆柱被正垂面所截，正是圆柱截交线的第二种形式。正垂面在正面的投影是直线，所以截交线的正面投影已知。同时截交线是圆柱表面的线，所以它的水平投影就是圆，也已知。当截交线的两个投影已知，求第三个投影时，就可以用直接作投影法去求。作图：1）在截交线的水平投影上任取若干个点，本例是均匀的取了八个点，等分圆周。这些点当中应当包括在转向线上的点。1、2、3、4、5、6、7、8即为八个点的水平投影。2）向上作投影线，找到它们的正面投影：1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’ 。3）已知两个投影求第三投影，直接求出它们的侧面投影1”、2”、3”、4”、5”、6”、7”、8”。4）光滑连接侧面投影，注意它们的可见性。截面的倾斜方向使这八个点在侧面均可见，因此截交线全部为可见。由于已知此时截交线的形式是椭圆，也可以只求出1、3、5、7这四个点后，直接用已知长短轴的方式作椭圆。 基本作图三十八：用面上取点法求截交线的作图。图42 圆锥截交线的求法分析：如图42圆锥被一正垂面所截，因此其正面投影已知，另两面投影未知。因截交线是圆锥表面的线，知其一面投影即可用面上取点法来求出其另外两面投影。作图：1）先求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个位于转向线上的点的投影。2）在截交线正面投影上任取一点，即是两个重影点的投影，标记5’6’，它即是Ⅴ、Ⅵ的正面投影。其另两面投影可用基本作图三十二方法求出。依次可作出若干点，略。3）光滑连接各面投影，并判别可见性，不可见的连接成虚线。本例均可见。 基本作图三十九：求平面立体与平面立体的相贯线。图43 四棱柱与三棱锥的相贯线以图43所示的一个三棱锥与一个四棱柱相贯为例。分析：四棱柱上只有三个面与三棱锥相交，如图中所标的P1、P2、P3面。P1、P2是水平面；P3是正平面。分别求出这三个面的截交线，即求出了两个立体的相贯线。作图：1）求出P1面的截交线ⅠⅢ、ⅠⅣ。Ⅰ是与棱SC的交点。Ⅲ、Ⅳ由四棱柱上的棱来确定，同时注意它们的正面投影与侧面投影分别与相应的四棱柱的投影重合，水平投影13∥ac，14∥bc。2）求出P2面的截交线ⅡⅤ、ⅡⅥ。方法与原理同上。3）求出P3面的截交线ⅢⅤ、ⅣⅥ。因为四点Ⅲ、Ⅴ、Ⅳ、Ⅵ已经求出，直接连接即可。4）检查可见性。正面投影，3’5’ 、4’6’被四棱柱遮挡，不可见，同时三棱锥的棱s’a’ 、s’b’也有一部分不可见。1’2’之间的棱的投影应擦去。水平投影，25、26不可见，ac 和bc上被四棱柱被遮挡部分也不可见。12之间的棱的投影应擦去。图44 四棱柱为空时与三棱锥的相贯线图44所示为当四棱柱为空时的相贯线的求法。从图中可看出，求的方法与上面完全相同，只是在最后连线时，因为各相贯线均可见，所以均应连成实线。图44中的立体也可以看成是三棱锥被三个截平面所截求截交线的例子。由此可见，相贯线与截交线并不是毫不相关的，有平面立体参与的相贯，它们的相贯线均是由一段段的截交线组成的。下面平面立体与回转体的相贯也是一样。 基本作图四十：求平面立体与回转体的相贯线图45 求三棱柱与圆柱相贯的相贯线以三棱柱与圆柱求相贯线为例，图45a。分析：因为有平面立体参与相贯，所以问题可转化为三棱柱上三个面与圆柱求截交线的问题。这三个面中ABEF面是正平面，其与圆柱的截交线是一段直线；AECD面是侧平面，其截交线是一段圆弧；BFCD面是铅垂面，其截交线是椭圆上的一部分，即椭圆弧。由于三个面均垂直于水平面，所以相贯线的水平投影已知，即是直角三角形。又由于相贯线是圆柱表面的线，所以其侧面投影也已知，即是三棱柱范围内的那段圆弧。只需求出正面投影。作图：1）先求特殊点。先确定D、E、F及Ⅰ（1’、1、1”）点，Ⅰ点是圆柱正面投影转向线上的点。2）连接e’f’即是正平面所截的截交线，不可见。连接d’a’e’，即是侧平面的截交线。d’1’f’是铅垂面截交线上的三个点，还需再求一般点，如图45b所示，用直接作投影法求一般点Ⅱ（2”、 2 、2’），还应再求一些一般点，本例略。3）光滑连接。d’2’1’这段弧线可见，连实线；1’f’这段不可见，连虚线。4）检查棱柱各棱线及圆柱投影。1’右部的圆柱的转向线未与棱柱相交，所以应继续存在，还应画出。f’b’棱一部分被圆柱挡住，应绘成虚线，见图45b放大图。图45c所示为当三棱柱是挖进圆柱内部时，投影的画法。请读者仔细对照研究。 基本作图四十一：求回转体与回转体的相贯线（表面取点法\辅助平面法）1. 圆柱与圆柱相贯图46 求圆柱与圆柱的相贯线 图47 圆柱与圆柱相贯立体图图46a为两圆柱相贯。根据两圆柱摆放的位置，一个圆柱的轴线垂直于水平面，一个圆柱的轴线垂直于侧平面。再根据相贯线是两圆柱表面的共有线，知它们相贯线的水平投影和侧面投影均已知。水平投影是一个圆，侧面投影是小圆柱范围内的一段圆弧。已知相贯线的两面投影求第三面投影，所以可以用表面取点法或直接作投影法来求出正面投影。作图：图46b，先求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个小圆柱上转向线上的点的正面投影，然后再求一般点Ⅴ、Ⅵ的正面投影，还可以取更多的一般点，本例略。图47所示为当小圆柱为空时，其相贯线形状不变，因为两圆柱的大小及相交的位置没有变。但应注意大圆柱内孔的投影应画虚线。2. 圆柱与圆锥相贯图48 求圆柱与圆锥的相贯线图48a为圆柱与圆锥相贯的例子。因圆柱轴线垂直于侧面，所以相贯线的侧面投影已知，即是圆。另两投影未知。当相贯线已知一个投影时，仍然可以用面上取点法来求相贯线其它的投影。见图48立体图，把相贯线看成是圆锥表面的一条封闭曲线来求其另两面的投影。作图：先求特殊点：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为圆柱转向线上的点。如图48b。已知1”、2”可直接作出1’、2’和1、2。由3”、4”需借助纬线圆，求出3、4，再求出3’、4’。再求一般点。为了减少作投影线，可如图所示的那样用一条投影线同时取5”、6”，在水平面作出过5、6两点的同心圆，圆的大小依据侧面投影，即可求出5、6，再求出正面投影。同理继续求其它的一般点，本例略。光滑连接各点。应注意顺序与可见性。3 、5、1、 4 为可见，连成实线，其余不可见，连成虚线。同时，水平投影上，被圆柱挡住的圆锥的底面圆，有一段也不可见，改画成虚线。正面投影可见部分与不可见部分完全重叠，所以只画实线。图48c所示，为圆柱变为通孔时的截交线的情况。注意可见性的变化。圆柱与圆柱相贯、圆柱与圆锥相贯也可以用辅助平面法来解。请读者思考，尝试作图，辅助平面法的具体应用见下例。3. 圆锥与球相贯图49 圆锥与半球的相贯线如图49a所示，圆锥与半球相贯，相贯线三面投影均未知，所以无法用面上取点法求解，只能用辅助平面法。用辅助平面法解题时，在选择辅助平面时应注意考虑辅助平面截两个回转体所产生的平面图形是否容易作出。如图50所示。辅助平面P是侧平面，通过锥顶截圆锥是三角形，截球是半圆，这是比较合适的，但其它的侧平面则不合适了，因为其截圆锥是双曲线。辅助平面Q是水平面，截圆锥及球都是圆，因此是合适的，其它的水平面也同样合适。作图：1）求特殊点。Ⅰ、Ⅱ两点，是圆锥与圆球正面转向线的交点，因此可首先求出其三面投影。圆锥侧面转向线与球的交点，需借助辅助平面P来求出，见图49b。先求出3”、4”，再求出3’、4’，与圆锥轴线重叠，再求出3、4。2）求一般点。作辅助面水平面Q，作出其与圆锥、圆球的交线圆的水平投影，其交点即为相贯线上的两点5、6，作投影线求出5’、6’和5”、6”。同理还可以求出更多的一般点，本例略。3）连接各点，并注意判别可见性。对于水平投影，因为圆锥面和半球的表面均可见，所以相贯线也可见，全用光滑曲线连为实线。侧面投影，3”2”4”曲线处在右半个圆锥，因此不可见，5”1”6”曲线处在左半个圆锥，因此可见。同时注意，圆球侧面转向线上被圆锥挡住的部分也应是虚线。4）检查加深。将多余的轮廓线擦去。图50 用辅助平面法解锥球相贯问题
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