苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.2 直线与圆的位置关系导学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.2 直线与圆的位置关系导学案，
第一课时　直线与圆的位置关系早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系．[问题]　日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　直线与圆的三种位置关系设直线l和圆C的方程分别为Ax＋By＋C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心到直线l的距离为d，半径为r，则直线l与圆C的方程联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.))我们有如下结论：1．若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？提示：相切．2．若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？提示：d≤r.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　)答案：(1)√　(2)√2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离解析：选B　圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).因为0＜eq \f(\r(2),2)＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B.3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)A．0或2 B．2C.eq \r(2) D．无解解析：选B　由于直线与圆相切，故eq \r(m)＝eq \f(|m|,\r(12＋12))，解得m＝0(舍去)或m＝2.4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝eq \f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝2×eq \r(25－5)＝2eq \r(20)＝4eq \r(5).答案：4eq \r(5)[例1]　(链接教科书第58页例1)求直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．[解]　直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标就是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,x2＋y2＝13))的解．解这个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝－3.))所以公共点的坐标为(3，2)或(－2，－3)．因为直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13有两个公共点，所以直线和圆相交．eq \a\vs4\al()判断直线与圆位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　 [跟踪训练]已知直线l：x－y＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，试判断直线l与圆C的位置关系，若相交求出交点坐标．解：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,（x－7）2＋（y－1）2＝36.))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝7，,y1＝7))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝1.))所以公共点坐标为(7，7)或(1，1)．因为直线与圆有两个公共点，所以直线与圆相交.[例2]　(链接教科书第59页例2)(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________；(2)过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________．[解析]　(1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝eq \f(|m0＋（－1）0＋2|,\r(m2＋（－1）2))＝eq \f(2,\r(m2＋1)).由已知得d＝r，即eq \f(2,\r(m2＋1))＝1，解得m＝±eq \r(3).(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2，3)到切线l的距离为eq \f(|2k－3＋4＋k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)，因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.[答案]　(1)±eq \r(3)　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0[母题探究](变条件)若本例(2)中的圆C：“(x－2)2＋(y－3)2＝1”换为圆C：“x2＋y2＝17”其它条件不变，试求切线l的方程．解：因为点A(－1，4)在圆x2＋y2＝17上．所以过点A的切线l与AC垂直，又因为kAC＝eq \f(4,－1)＝－4，故切线l的斜率k＝eq \f(1,4)，所以切线l的方程为y－4＝eq \f(1,4)(x＋1)，即x－4y＋17＝0.eq \a\vs4\al()1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．3．求切线长(最值)的两种方法(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　　　 [跟踪训练]1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3　 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：选D　圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|6＋4＋5|,\r(32＋（－4）2))＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.2．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×eq \f(1,2)|OA|·|PA|＝2eq \r(|OP|2－|OA|2)＝2eq \r(|OP|2－4).为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：|OP|min＝eq \f(10,\r(22＋12))＝2eq \r(5).故所求最小值为2eq \r(（2\r(5)）2－4)＝8.答案：8[例3]　(链接教科书第60页例3)如果一条直线经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．[解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq \r(52－42)＝3.因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．当直线的斜率存在时，设直线y＋eq \f(3,2)＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2)))＝0的距离等于3，于是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(3,4).故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.eq \a\vs4\al()求弦长的两种方法(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq \s\up12(2)＝r2求解，这是常用解法；(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　　　 [跟踪训练]求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．解：法一：由直线l与圆C的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y，得x2－3x＋2＝0.设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，|AB|＝ eq \r(（1＋32）（x1－x2）2)＝ eq \r(10[（x1＋x2）2－4x1x2])＝ eq \r(10×（32－4×2）)＝eq \r(10).∴弦AB的长为eq \r(10).法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.其圆心坐标为C(0，1)，半径r＝eq \r(5)，点C(0，1)到直线l的距离为d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)，∴|AB|＝2 eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq \r(10)，∴弦长为eq \r(10).1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　)A．相交并且直线过圆心　 B．相交但直线不过圆心C．相切 D．相离解析：选D　圆心C(1，1)到直线的距离d＝eq \f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(19,5)，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　)A.eq \r(6) B.eq \f(\r(6),2)C．1 D．5解析：选A　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝eq \r(2)，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以直线被圆截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(2－\f(1,2))＝eq \r(6).3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离．解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2.(1)若相交，则d2，所以m∈(－2eq \r(2)，2eq \r(2))．新课程标准解读核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系直观想象2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想数学运算方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解直线与圆没有公共点直线与圆有且只有一个公共点直线与圆有两个公共点相离相切相交deq \a\vs4\al(>)rd＝rdeq \a\vs4\al(