数学选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系导学案及答案

这是一份数学选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系导学案及答案，

第二课时　直线与圆的位置关系的应用有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m.[问题]　当水面下降1 m后，水面宽多少米？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　用坐标法解决几何问题用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：利用坐标法求解几何问题要注意什么？提示：(1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素；(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为(　　)A．15米　　　　　　　 B．13米C．3米 D．6.5米解析：选B　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq \f(13,2)，所以拱桥的直径为13米．[例1]　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？[解]　以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0)．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2＋y2＝4；轮船航线所在直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1，即3x＋4y－12＝0.联立直线l与圆O的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－12＝0，,x2＋y2＝4.))消去y，得25x2－72x＋80＝0.由Δ＝(－72)2－4×25×80<0，可知方程组无解．所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．eq \a\vs4\al()应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．　　　　 [跟踪训练]街头有一片绿地，绿地的四条边界(单位：m)如图所示，其中ABC为圆弧，求此绿地的面积(精确到0.1 m2)．解：设圆弧ABC所对的圆心为点E，如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以过A，B，C三点的圆弧的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y>0)，连接EA，EC，AC，则|EA|＝|EC|＝5.因为|AC|＝eq \r(（7－0）2＋（6－7）2)＝5eq \r(2)，所以∠AEC＝90°.故所求的面积为S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形EAC－S△ACE)＝eq \f(（7＋6）×7,2)＋eq \f(1,4)π×52－eq \f(1,2)×52＝33＋eq \f(25π,4)≈52.6(m2)．所以绿地的面积约为52.6 m2.[例2]　在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．[解]　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝2x－1. ①又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25， ②∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|,2)))eq \s\up12(2)＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PB|,2)))eq \s\up12(2)＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PO|,2)))2＝eq \f(π,4)(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为eq \f(11,2)π，最小值为eq \f(9,2)π.eq \a\vs4\al()坐标法建立直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；(2)充分利用图形的对称性；(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称；(4)关键点的坐标易于求得．　　　　 [跟踪训练]如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．证明：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).[例3]　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求eq \f(y,x)的最大值和最小值．[解]　原方程表示以点(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆，设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).故eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).[母题探究](变设问)若本例中的条件不变，求y－x的最大值和最小值．解：设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，即b＝－2±eq \r(6).故y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).eq \a\vs4\al()与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．　　　　 1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)A．1.4 m　　　　　　　 B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m解析：选B　如图，圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，所以|AB|＝0.8，所以弦心距|OB|＝eq \r(3.62－0.82)≈3.5(m)，即为所求．2．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约______ h，台风将影响A城，持续时间约为______h(结果精确到0.1 h)．解析：以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0)．依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，解得－150－25eq \r(14)≤a≤－150＋25eq \r(14)，∴t1＝eq \f(\r(2)|a1|,40)＝eq \f(\r(2)|－150＋25\r(14)|,40)≈2.0，Δt＝eq \f(\r(2)|a2－a1|,40)＝eq \f(\r(2)×50\r(14),40)≈6.6，∴从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.答案：2.0　6.63．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．解析：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为eq \f(|2＋3＋2|,\r(2))＝eq \f(7\r(2),2)，则从村庄外围到小路的最短距离为eq \f(7\r(2),2)－2.答案：eq \f(7\r(2),2)－2新课程标准解读核心素养1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题数学建模2.会用“数形结合”的数学思想解决问题直观想象直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程在几何问题中的应用与圆有关的最值问题