2020-2021学年3.2 双曲线导学案及答案

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双曲线的几何性质凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．[问题]　你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　双曲线的几何性质eq \a\vs4\al()1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a＞0)；(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq \r(2).2．共轭双曲线的性质以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：(1)有相同的渐近线；(2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但两离心率倒数的平方和等于常数1.　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　)(3)双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．双曲线eq \f(x2,16)－y2＝1的顶点坐标是(　　)A．(4，0)，(0，1)　　　　　 B．(－4，0)，(4，0)C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1B.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)－eq \f(x2,9)＝1C.eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1D.eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,100)－eq \f(x2,36)＝1答案：B4．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，则a＝________．答案：5[例1]　(链接教科书第97页例1)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解]　双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x.eq \a\vs4\al()由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．[注意]　求性质时一定要注意焦点的位置．　　　　 [跟踪训练]1．已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1与eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1，下列说法正确的是(　　)A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等解析：选C　双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的离心率e1＝eq \r(\f(9＋16,9))＝eq \f(5,3)，而双曲线eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1的离心率e2＝eq \r(\f(16＋9,16))＝eq \f(5,4)，因此可排除选项D；易得C正确．2．求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程．解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为eq \f(y2,42)－eq \f(x2,32)＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋32)＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)；渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.[例2]　(链接教科书第98页例2)(1)以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1D．以上都不对(2)过点(2，－2)且与eq \f(x2,2)－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析]　(1)当顶点为(±4，0)时，a＝4，c＝8，b＝4eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.故选C.(2)法一：当焦点在x轴上时，由于eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2).故可设方程为eq \f(x2,2b2)－eq \f(y2,b2)＝1，代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；当焦点在y轴上时，可知eq \f(a,b)＝eq \f(\r(2),2)，故可设方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,2a2)＝1，代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为eq \f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为eq \f(x2,2)－y2＝－2，即eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1.[答案]　(1)C　(2)eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1eq \a\vs4\al()求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴．若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得，再结合c2＝a2＋b2及e＝eq \f(c,a)列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程；(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，那么此双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．　　　　 [跟踪训练]　 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；(2)焦点在x轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(－5，3)；(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x.解：(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.(2)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0)．把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16.∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.(3)设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4).当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2eq \r(－9λ)＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1.[例3]　(1)若以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的左、右焦点和点(2，eq \r(2))为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)A.eq \r(2)　　　　　　　　　 B.eq \r(3)C．2 D.eq \f(\r(6),2)(2)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．(1)[解析]　由题意得点(2，eq \r(2))为该直角三角形的直角顶点，双曲线的左、右焦点分别为(－c，0)，(c，0)，则有eq \f(\r(2),2－c)·eq \f(\r(2),2＋c)＝－1，解得c2＝6，所以a2＝c2－4＝2，因此e＝eq \f(\r(6),\r(2))＝eq \r(3).[答案]　B(2)[解]　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，那么y＝±eq \f(b2,a).由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以eq \f(b2,a)＝2c，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)－2×eq \f(c,a)－1＝0，即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋eq \r(2).eq \a\vs4\al()求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))求解；(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq \f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解．　　　　 [跟踪训练]如图所示，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，∴2a＝(eq \r(3)－1)c，从而双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝1＋eq \r(3).答案：1＋eq \r(3)1．双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±2x　　　　　　 B．y＝±eq \f(1,2)xC．y＝±eq \r(2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x解析：选C　∵双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1，∴其渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　)A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1解析：选D　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.3．求双曲线4y2－9x2＝－4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．解：将双曲线方程化成标准方程eq \f(x2,\f(4,9))－eq \f(y2,1)＝1，可知实半轴长a＝eq \r(\f(4,9))＝eq \f(2,3)，虚半轴长b＝eq \r(1)＝1.于是有c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(\f(4,9)＋1)＝eq \f(\r(13),3)，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(13),3)，0))，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \f(3,2)x.为画出双曲线的草图，首先在坐标系中画出渐近线y＝±eq \f(3,2)x，顶点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，结合两渐近线可画出第一、四象限的曲线，再根据对称性可得该双曲线的草图，如图所示．新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质直观想象、数学抽象2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用直观想象、数学运算标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；实半轴长：eq \a\vs4\al(a)，虚半轴长：eq \a\vs4\al(b)离心率e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)x双曲线的几何性质由双曲线的几何性质求标准方程双曲线的离心率