苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线学案及答案

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抛物线的标准方程如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线．[问题]　上图是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．在抛物线定义中，若去掉条件“F不在l上”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是．知识点二　抛物线标准方程的几种形式eq \a\vs4\al()标准方程的特点焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．　　　　 1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)A．开口向上，焦点为(0，1)B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．开口向右，焦点为(1，0)D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))答案：B　2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)A．(8，8)　　　　　　 B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)答案：C3．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．答案：x2＝8y[例1]　(链接教科书第103页例1，例2)求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是F(－3，0)．[解]　(1)根据题意可知，抛物线的标准方程具有y2＝2px的形式，而且p＝3，因此所求标准方程为y2＝6x.准线方程为x＝－eq \f(3,2).(2)因为抛物线的焦点坐标是(－3，0)，所以抛物线的标准方程具有y2＝－2px的形式，而且eq \f(p,2)＝3，因此p＝6，从而所求抛物线的标准方程是y2＝－12x.准线方程为x＝3.eq \a\vs4\al()求抛物线的标准方程的方法[注意]　当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 [跟踪训练]1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝eq \f(5,2)x，∴2p＝eq \f(5,2)，p＝eq \f(5,4)，∴焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))，准线方程为x＝－eq \f(5,8).答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))　 x＝－eq \f(5,8)2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．由抛物线的定义得|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))＝5，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.[例2]　(1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是(　　)A．4　　　　　　　　　 B．5C．6 D．7(2)若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．(1)[解析]　抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.[答案]　B(2)[解]　由于位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x.[母题探究]1．(变设问)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x，所以由抛物线的定义得x0＋eq \f(1,2)＝2，解得x0＝eq \f(3,2).因为yeq \o\al(2,0)＝2x0，所以y0＝±eq \r(3)，故点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(3))).2．(变设问)若本例(2)中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．解：由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2).当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值eq \f(7,2)，这时M的纵坐标为2.可设M(xM，2)，代入抛物线方程得xM＝2，即M(2，2)．eq \a\vs4\al()抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　　 圆锥曲线的共同特征比较本章所学的三种圆锥曲线，可以发现，椭圆和双曲线在定义上非常相似，它们都有两个焦点，在对称性上，它们都是中心对称曲线，都有两条对称轴；但是同为圆锥曲线的抛物线，仅有一个焦点，不论在定义上还是在对称性上，抛物线和椭圆、双曲线都相差较大．既然椭圆、双曲线和抛物线本是同根生，都可以用平面截对顶圆锥面而得到，三者理应存在某些共同的性质，那么这种共同性质究竟是什么呢？[问题探究]1．椭圆上的点P(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝eq \f(a2,c)的距离之比是否为定值？提示：是定值，证明如下：如图，设点P(x，y)为椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，右焦点F(c，0)．因为y2＝b2－eq \f(b2x2,a2)，所以|PF|＝eq \r(（x－c）2＋y2)＝eq \r(（x－c）2＋b2－\f(b2,a2)x2).由a2＝b2＋c2，可得|PF|＝eq \r(\f(c2,a2)x2－2cx＋a2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))\s\up12(2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a)).①即|PF|＝eq \f(c,a)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c)))，eq \f(|PF|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c))))＝eq \f(c,a)＝e.这就是说椭圆上任意一点到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝eq \f(a2,c)的距离之比是定值e.2．双曲线上的点P(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝eq \f(a2,c)的距离之比是否为定值？提示：是定值，证明如下：如图，设点P(x，y)为双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的任意一点，右焦点F(c，0)．因为y2＝eq \f(b2x2,a2)－b2，所以|PF|＝eq \r(（x－c）2＋y2)＝eq \r(（x－c）2＋\f(b2,a2)x2－b2).由c2＝a2＋b2，可得|PF|＝eq \r(\f(c2,a2)x2－2cx＋a2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))\s\up12(2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))＝eq \f(c,a)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c))).即eq \f(|PF|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c))))＝eq \f(c,a)＝e.这就是说双曲线上任意一点P(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝eq \f(a2,c)的距离之比是定值e.由抛物线的定义知，抛物线上的点P(x，y)到定点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离与它到定直线x＝－eq \f(p,2)的距离之比为定值1.通过上述分析，可以得到上述三种圆锥曲线的一个共同特征：椭圆、双曲线和抛物线上任意一点到焦点F的距离与到定直线的距离之比为常数e.当01时，曲线是双曲线．因此，可以得到圆锥曲线的一个统一定义：平面内到定点F的距离与到定直线l(F∉l)的距离之比为常数e(e>0)的动点的轨迹是圆锥曲线．其中，定点F为圆锥曲线的焦点，常数e是圆锥曲线的离心率，定直线l为圆锥曲线的准线．[迁移应用]　(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB.解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2)))，又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－eq \f(\r(2),2) x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2).(2)证明：由eq \f(x2,2)＋y2＝1结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x＝2与x轴的交点，如图所示．当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x＝2的垂线，垂足分别是C，D，则有AC∥BD∥x轴．由结论可知eq \f(|AF|,|AC|)＝e，eq \f(|BF|,|BD|)＝e，∴eq \f(|AF|,|AC|)＝eq \f(|BF|,|BD|)即eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|AC|,|BD|)，又∵AC∥BD∥x轴，∴eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|CM|,|DM|)，∴eq \f(|AC|,|BD|)＝eq \f(|CM|,|DM|)，且∠ACM＝∠BDM＝90°，∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD，∴∠OMA＝∠OMB.1．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝8x　　　　　 B．x2＝yC．y2＝8x或x2＝y D．无法确定解析：选C　由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将(2，4)代入可得p＝4或p＝eq \f(1,2)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．解析：因为准线方程为x＝－2＝－eq \f(p,2)，即p＝4，所以焦点为(2，0)．答案：(2，0)3．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq \f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程直观想象图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y2＝2px(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq \f(p,2)向右y2＝－2px(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq \f(p,2)向左x2＝2py(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq \f(p,2)向上x2＝－2py(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq \f(p,2)向下抛物线的标准方程定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程抛物线定义的应用