苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第一课时学案及答案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第一课时学案及答案，
第一课时　双曲线的定义与标准方程如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．[问题]　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．定义中“小于F1F2的正数”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？提示：不一定是．知识点二　双曲线的标准方程eq \a\vs4\al()双曲线焦点位置与方程的关系焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)方程eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1表示双曲线．(　　)(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　　)(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则a2＞b2.(　　)(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)A．(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)　　　 B．(－5，0)，(5，0)C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－eq \r(7))，(0，eq \r(7))答案：B3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．答案：eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1[例1]　如图，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解]　双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5.(1)由双曲线的定义得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|))＝2a＝6，又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，假设点P到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点P到另一个焦点的距离为10或22.(2)将eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF2|－|PF1|))＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.[母题探究]1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．解：由双曲线的标准方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，∴|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.2．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(6)＝8eq \r(6).3．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解：由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝64，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3).eq \a\vs4\al()在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　　　 [跟踪训练]1．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)A．11　　　　　　　 B．9C．5 D．3解析：选B　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.2．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4eq \r(2) B．8eq \r(3)C．24 D．48解析：选C　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6.))又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)·|PF1|·|PF2|＝24.故选C.[例2]　(链接教科书第90页例2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)；(3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　①∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.法二：设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4