2021学年3.2 双曲线第二课时导学案及答案

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第二课时　双曲线的定义与标准方程的应用(习题课)[例1]　(链接教科书第91页例3)A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．[解]　如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2eq \r(3))．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－eq \r(3)，D(－4，eq \r(3))，所以直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8，y＝5eq \r(3)，所以P点的坐标为(8，5eq \r(3))．因此kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3).故炮击的方向角为北偏东30°.eq \a\vs4\al()双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．　　　　 [跟踪训练]某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，从而c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＝4 375，b2＝3 750，故所求分界线的方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(x≥25)．即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.[例2]　(链接教科书第91页例4)判断直线l：y＝x＋1与双曲线C：x2－y2＝1是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．[解]　联立直线与双曲线的方程，可得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2－y2＝1，))消去y，可得x2－(x＋1)2＝1，由此可解得x＝－1.此时，y＝0.因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(－1，0)．eq \a\vs4\al()求直线与双曲线公共点的坐标的方法联立直线与双曲线的方程组成方程组，若方程组有两组解则直线与双曲线有两个公共点，则公共点的坐标即为方程组的解；若方程组有一组解则直线与双曲线有一个公共点，则公共点坐标即为方程组的解；若方程组无解则直线与双曲线无公共点．　　　　 [跟踪训练]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围：(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．解：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＞0，,1－k2≠0))得－eq \f(2\r(3),3)＜k＜eq \f(2\r(3),3)且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0))得k＝±eq \f(2\r(3),3)，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±eq \f(2\r(3),3)或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＜0，,1－k2≠0))得k＜－eq \f(2\r(3),3)或k＞eq \f(2\r(3),3)，此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.[例3]　已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，如图所示，点A的坐标为(－eq \r(5)，0)，B是圆x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．[解]　设点D的坐标为(eq \r(5)，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.∴|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.又点B是圆x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\r(5)))eq \s\up12(2)＝1上的点，圆的圆心为C(0，eq \r(5))，半径长为1，故|BD|≥|CD|－1＝eq \r(10)－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥eq \r(10)＋1，当且仅当点M，B在线段CD上时取等号，故|MA|＋|MB|的最小值为eq \r(10)＋1.eq \a\vs4\al()与双曲线有关的最值问题的结论设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点．(1)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在；(2)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在．　　　　 [跟踪训练]已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)A.eq \r(37)＋4　　　　　　　 B.eq \r(37)－4C.eq \r(37)－2eq \r(5) D.eq \r(37)＋2eq \r(5)解析：选C　由双曲线的定义，得|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2eq \r(5)，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0，当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝eq \r([3－（－3）]2＋12)＝eq \r(37).故|AP|＋|AF2|的最小值为eq \r(37)－2eq \r(5).故选C.椭圆、双曲线的特性归纳及应用(1)(链接教科书第81页习题13题)已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－eq \f(3,4)，求点M的轨迹方程．(2)(链接教科书第93页习题5题)在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为eq \f(9,4)，求顶点A的轨迹．[问题探究]由上述两道教科书习题可知，(1)设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，当k1·k2＝－eq \f(3,4)时，动点的轨迹是以A，B为焦点，除去与x轴交点的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)；(2)当k1·k2＝eq \f(9,4)时，动点的轨迹是以B，C为焦点，除去与x轴交点的双曲线eq \f(x2,36)－eq \f(y2,81)＝1(x≠±6)．结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.(1)当k1·k2＝eq \f(b2,a2)时，点M的轨迹方程为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)；(2)当k1·k2＝－eq \f(b2,a2)时，点M的轨迹方程为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞b＞0)．[迁移应用]1．(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－eq \f(1,2)，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线．解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2).又∵a2＝4，∴b2＝2，∴C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1(x≠±2)．即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆．2.如图，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(eq \r(2)＋1)，双曲线eq \f(x2,aeq \o\al(2,1))－eq \f(y2,beq \o\al(2,1))＝1的顶点是该椭圆的焦点，且a1＝b1，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，设直线PF1和PF2的直线斜率分别为k1，k2.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)证明k1·k2＝1.解：(1)由题意知，椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，则a＝eq \r(2)c，又∵2a＋2c＝4(eq \r(2)＋1)，解得a＝2eq \r(2)，c＝2.∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，椭圆的焦点坐标为(±2，0)．∵双曲线eq \f(x2,aeq \o\al(2,1))－eq \f(y2,beq \o\al(2,1))＝1中a1＝b1，且顶点是该椭圆的焦点，∴该双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1.(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1＝eq \f(y0,x0＋2)，k2＝eq \f(y0,x0－2).∴k1·k2＝eq \f(y0,x0＋2)×eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(yeq \o\al(2,0),xeq \o\al(2,0)－4)，又∵点P(x0，y0)在双曲线上，∴eq \f(xeq \o\al(2,0),4)－eq \f(yeq \o\al(2,0),4)＝1，即yeq \o\al(2,0)＝xeq \o\al(2,0)－4，∴k1·k2＝1.1．相距4k米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速为每秒k米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　)A．圆　　　　　　　　　 B．双曲线C．椭圆 D．直线解析：选B　由已知条件可得||PA|－|PB||＝2k＜4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上．故选B.2．直线3x－4y＝0与双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1的交点个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：选A　联立直线3x－4y＝0与双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝0，,\f(y2,9)－\f(x2,16)＝1，))方程组无解，说明直线与双曲线没有交点．3．如果直线y＝kx－1与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1没有公共点，求实数k的取值范围．解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,2)－y2＝1))得(1－2k2)x2＋4kx－4＝0，因为直线与双曲线无公共点，所以方程(1－2k2)x2＋4kx－4＝0无解，故Δ＝16k2＋16(1－2k2)＜0，解得k＞1或k＜－1.新课程标准解读核心素养1.会求直线与双曲线的公共点坐标数学运算2.掌握双曲线标准方程在实际生活中的应用数学建模双曲线标准方程的实际应用直线与双曲线的公共点问题与双曲线有关的最值问题