苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线第一课时导学案及答案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线第一课时导学案及答案，
第一课时　抛物线的几何性质某公园要建造一个如图①的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图②所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．[问题]　在上述情境中，不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水不落到池外？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　抛物线的几何性质在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)A．x2＝±3y　　　　　 B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．y2＝±12x解析：选C　可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知eq \f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：选B　∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴eq \f(p,2)＝6，即p＝12.又抛物线上的点到准线距离的最小值为eq \f(p,2)，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞)．[例1]　(链接教科书第106页例1)已知双曲线方程是eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．[解]　因为双曲线eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1的右顶点坐标为(2eq \r(2)，0)，所以eq \f(p,2)＝2eq \r(2)，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8eq \r(2)x，其准线方程为x＝－2eq \r(2).eq \a\vs4\al()求抛物线方程的步骤[注意]　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．　　　　 [跟踪训练]已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的标准方程和准线方程．解：当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．将点M(1，－2)代入，得n＝－eq \f(1,2).∴抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(1,2)y.故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－eq \f(1,2)y.准线方程分别为x＝－1或y＝eq \f(1,8).[例2]　(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[解]　(1)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＝xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)，即xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \o\al(2,1)＝2px1联立，解得y1＝2eq \r(3)p.所以|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p，即这个三角形的边长为4eq \r(3)p.(2)如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)，∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－1.∴yeq \o\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))，又∵yeq \o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2).∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2).eq \a\vs4\al()利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解决焦点弦问题．　　　　 [跟踪训练]抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．解析：由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，所以点A的坐标为(x0，eq \r(3)(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3xeq \o\al(2,0)－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，所以点A的坐标为(3，2eq \r(3))，故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).答案：4eq \r(3)1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是(　　)A．y2＝8x　　　　　　　　 B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C　依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.2．若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．答案：43．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，直线l：x＝eq \f(a,2)，∴A，B两点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，∴|AB|＝2|a|.∵△OAB的面积为4，∴eq \f(1,2)·|eq \f(a,2)|·2|a|＝4，∴a＝±2eq \r(2).∴抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质直观想象2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用数学运算标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)范围在y轴右侧在y轴左侧在x轴上面在x轴下面对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下抛物线的几何性质抛物线性质的应用