武汉市2021届高三下学期一模数学试卷

绝密★启封前

2021年全国高等学校统一招生考试仿真模拟（一）

数 学 试 卷

考试时间：2021年 4月27日 下午3:00--5:00      试卷满分：150分

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意．

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

3．已知正数、满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．已知随机变量，且，则（    ）

A． B．8 C．12 D．24

5．已知.则（     ）

A．-30 B．30 C．-40 D．40

6．若函数在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．设点分别为双曲线的左右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，且则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知实数满足，则大小关系为（    ）

A．     B．      C．    D．

二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得2分，选错不得分．

9．在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（    ）

A． B． C．     D．

10．若， 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（    ）

A．                   B．  

C．       D．

11．在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面   

B．与平面所成角的正切值的最大值是

C．的最小值为  

D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是

12．当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（    ）

A．的面积    B．

C．两函数的图象必在处有交点    D．

第Ⅱ卷(非选择题，共70分)

三、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．

13．已知的夹角为， ，则=_________

14．在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．

15．写出一个图象关于直线对称且在上单调递增的偶函数______.

16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为_____；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为_____．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题(本题包括6小题。共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）

如图，在中，角的对边分别为，，，且.

（1）求的大小；

（2）若，点     在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.

18．（本小题满分12分）

已知在数列中，前n项和为，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

19.（本小题满分12分）

如图，在等腰梯形中，，，矩形所在的平面垂直于平面，设平面与平面的交线为．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的大小为，求线段的长度．

20.（本小题满分12分）

某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.

（1）求，并证明数列是等比数列；

（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；

（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为．

（1）求椭圆的方程及焦点坐标；

（2）记，，的面积分别为，，，试证明为定值．

22.（本小题满分12分）

已知函数

（1）当时，判定有无极值，并说明理由；

（2）若对任意的恒成立，求的最小值.

数 学 试 卷（参考答案）

1．B  2．A   3．C   4．D  5．B  6．C   7．B  8．D   9．ACD   10.ACD    11．AC   12．BD

13.   14．4      15.（其他正确的答案同样给分）   16．   

四、解答题(本题包括6小题。共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为，且，所以，

在中，,所以,所以，所以 因为在中，，

所以 因为是的内角所以.（4分）

（2）在中，，因为是等腰直角三角形，所以，，

所以平面四边形的面积

因为，所以 所以当时，，

此时平面四边形的面积有最大值（10分）

18.【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）在数列中，①    ∵②且，

∴①式÷②式得： ，∴数列以为首项，公差为1的等差数列，

∴ ∴当时，；

当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为．（5分）

（2）由（1）知，，则数列的前项和，当时，，

当时， 

  时也满足上式，故有. （12分）

19.【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，平面，平面.

所以平面.又平面，平面与平面的交线为，所以.

因为，平面平面，平面平面，

所以平面，所以平面.（6分）

（2）设的中点为，的中点为G，的中点为M，则两两垂直，以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则点的坐标为，点的坐标为.作，交于点，在中，，

所以点的坐标为，点的坐标为，所以.

设平面的法向量为，则，即，

令，解得，所以平面的一个法向量为.取平面的一个法向量，因为二面角的大小为，所以，即，

解得（负值不合题意，已舍去），所以线段AF的长度为.（12分）

20.【答案】（1），证明见解析；（2）分布列见解析，；（3）产品320份、产品480份.

【详解】（1）依题意，知，则当时，可得∴数列是首项为公比为的等比数列.（4分）

（2）第二次买A产品的概率；第二次买B产品的概率

∴第二次来的3人中有个人购买产品，的所有可能取值为0、1、2、3

有

∴的分布列为

（9分）

（3）由(1)知：∴当趋于无穷大时，，即第次来购买产品的概率约为

故，公司每天应至少准备产品320份、产品480份（12分）

21.【答案】（1）椭圆的方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.

【详解】（1）由题意可知，又，即．解得．即．

所以．所以椭圆的方程为，焦点坐标为．（5分）

（2）由得，显然．

设，，则，，，   因为

，又因为

．所以．（12分）

22.【答案】（1）有一个极小值，但没有极大值；答案见解析；（2）．

【详解】解：（1）函数的定义域为，

令，则所以在上为增函数又所以存在，使得所以当时，

当时，所以在上单调递减，在上单调递增

所以是的极小值点综上，有一个极小值，但没有极大值（5分）

（2）不等式，即即

即对任意的恒成立令，则，从而在上单调递减当时，；又时，

不等式转化为该不等式恒成立等价于恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立令

则所以，当时，当时，所以函数在单调递增，在单调递减所以所以故的最小值为．（12）