数学选择性必修第一册4.1 数列学案设计

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数学归纳法*新课程标准解读核心素养了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题逻辑推理 五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡．到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了．虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃．赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”．[问题]　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法．　用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证n＝1时成立吗？提示：不一定．如：证明多边形内角和为(n－2)×180°时，第一步应验证n＝3.1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．2．运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．　　　　 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于________．答案：32．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”．当验证n＝1时，上式左端计算所得为________．答案：1＋a＋a2 用数学归纳法证明等式[例1]　(链接教科书第157页例1)求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)和(2)可知，对一切正整数n等式都成立．用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构；(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项；②代数式相邻两项之间的变化规律；③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．　　　　 [跟踪训练]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.用数学归纳法证明不等式[例2]　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．[证明]　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋>＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．　　　　 [跟踪训练]　用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋32＋…＋nn<(n＋1)n.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，1<2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k，那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k·(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立.用数学归纳法证明几何问题[例3]　(链接教科书第160页例5)求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.[证明]　(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立．即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个．现在考虑n＝k＋1时的情形．对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立．由(1)和(2)，可知原结论成立．用数学归纳法解决几何证明的关键在几何问题中，常有与正整数n有关的几何证明，其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元素从k(k∈N*)个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少个．解题时可以先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明．　　　　 [跟踪训练]已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．解：(1)由点P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1，∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝，∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，故当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对任何n∈N*，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn在直线l上.归纳——猜想——证明[例4]　已知数列，，，…，，…，设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．[解]　S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝，可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.下面用数学归纳法证明：(1)显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即Sk＝.则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)和(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．“归纳—猜想—证明”模式的解题方法(1)观察：由已知条件写出前几项；(2)归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；(3)猜想：猜想一般项的表达式；(4)证明：用数学归纳法证明猜想的结论．　　　　 [跟踪训练]已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．②假设n＝k(k∈N*，且k≥2)时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N*)，则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1，故n＝k＋1时，猜想也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*有an＝5×2n－2.1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.　　　　　　　　 B.＋C.＋  D.＋＋解析：选D　要注意末项与首项，因为f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证(　　)A．n＝1  B．n＝2C．n＝3  D．n＝4解析：选C　由题意得，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋＜2  B．1＋＋＜2C．1＋＋＜3  D．1＋＋＋＜3解析：选B　由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋＜2，故选B.4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6