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    选择性必修第一册4.1 数列学案设计

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    这是一份选择性必修第一册4.1 数列学案设计,共9页。

    数列

    新课程标准解读

    核心素养

    1.通过日常生活和数学中的实例了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公)了解数列是一种特殊函数

    数学抽象

    2.了解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式

    数学运算

     

    传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时喜欢把数描绘成沙滩上的小石子小石子能够摆成不同的几何图,于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现当小石子的数目是13610等数时小石子都能摆成正三角形如图①.他把这些数叫作三角形数;当小石子的数目是14916等数时小石子都能摆成正方形如图②.他把这些数叫作正方形数等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.

    [问题] (1)数列的有关概念是什么?

    (2)数列可分为哪几类?

                                        

                                        

                                        

    知识点一 数列的概念

    1.定义:按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫作这个数列的项.

    2.分类:项数有限的数列叫作有穷数列;项数无限的数列叫作无穷数列.

    3.记法:数列的一般形式可以写成a1a2a3an简记为{an}.其中a1称为数列{an}的第1项或首项a2称为第2项……an称为第项.

    1.2,3,4,5和5,4,3,2是相同的数列吗?

    提示:不是.

    2.{an}an是两个相同的概念吗?

    提示:不是.{an}表示数列a1a2anan只是数列{an}中的第n项.

    给出以下数列:

    1,-1,1,-1

    2,4,6,8,,1 000

    8,8,8,8,

    0.8,0.82,0.83,0.84,0.810.

    其中有穷数列为________;无穷数列为______.(填序号)

    答案:②④ ①③

    知识点二 数列通项公式与递推公式

    1.通项公式

    如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

    2.递推公式

    如果已知一个数列的第1项(或前几项)且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.

    1数列{an}与函数有什么关系?

    提示:数列是一种特殊的函数定义域为正整数集N*或它的有限子集{12n}.

    2.是否所有的数列都有通项公式?若有是否唯一?

    提示:不是.同所有的函数关系不一定都有解析式一样并不是所有的数列都有通项公式.若有通项公式也不一定唯一.

    3.所有的数列都有递推公式吗?

    提示:不是所有的数列都有递推公式.例如精确到10.10.010.001的近似值排列成一列数:11.41.411.414就没有递推公式.

    1.符合递推关系式anan-1的数列是(  )

    A.1,2,3,4,      B.1,,2,2

    C.,2,,2,  D.0,,2,2

    解析:选B B中相邻的两项后一项是前一项的符合递推公式anan-1.

    2.数列{an}an+1an+2ana1=2a2=5a5=(  )

    A.-3  B.-11

    C.-5  D.19

    解析:选D 由an+1an+2anan+2anan+1

    a3a1a2=7a4a2a3=12a5a3a4=19.

    3.数列{an}的通项公式为ana2·a3=________

    解析:由ana2=2a3=10

    所以a2·a3=20.

    答案:20

    4.若数列{an}的通项满足n-2那么15是这个数列的第________项.

    解析:由n-2可知ann2-2n

    n2-2n=15n=5或n=-3(舍去).

    答案:5

    由数列的前几项求通项公式

    [例1] (链接教科书第126页例4)(1)数列的一个通项公式是________.

    (2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式:

    -3,7,-15,31,

    2,6,2,6,.

    (1)[解析] 数列可写为:分子满足:3=1+24=2+25=3+26=4+2

    分母满足:53×1+28=3×2+211=3×3+2143×4+2故通项公式为an.

    [答案] an

    (2)[解] ①均是分式且分子均为1分母均是两因数的积第一个因数是项数加上1第二个因数比第一个因数大2

    an.

    正负相间且负号在奇数项故可用(-1)n来表示符,各项的绝对值恰是2的整数次幂减1

    an=(-1)n(2n+1-1).

    为摆动数列一般求两数的平均数=4而2=4-26=4+2中间符号用(-1)n来表示.

    an=4+(-1)n·2an

    数列的前几项求通项公式的解题策略

    (1)分式形式的数列分子、分母分别求通项较复杂的还要考虑分子、分母的关系;

    (2)若nn+1项正负交错那么符号用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1来调控;

    (3)熟悉一些常见数列的通项公式;

    (4)对于复杂数列的通项公式其项与序号之间的关系不容易发现要将数列各项的结构形式加以变形将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.    

    [跟踪训练]

    写出下列数列的一个通项公式:

    (1)0,3,8,15,24,

    (2)1-3,5,-7,9,

    (3)1,2,3,4

    (4)1,11,111,1 111,.

    解:(1)观察数列中的数可以看到0=1-13=4-18=9-115=16-124=25-1所以它的一个通项公式是ann2-1.

    (2)数列各项的绝对值为13579是连续的正奇数并且数列的奇数项为正偶数项为负所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).

    (3)此数列的整数部分1234恰好是序号n分数部分与序号n的关系为故所求的数列的一个通项公式为ann.

    (4)原数列的各项可变为×9×99×999×9 999易知数列9999999 999的一个通项公式为an=10n-1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).

    数列通项公式的简单应用

    [例2] (链接教科书第124页例1例2)已知数列{an}的通项公式为an(nN*).

    (1)计算a3a4的值;

    (2)是不是该数列中的项?若是应为第几项?若不是说明理由.

    [解] (1)∵an

    a3a4

    a3a4.

    (2)若为数{an}中的项

    n(n+2)=120n2+2n-120=0

    n=10或n=-12(舍)是数列{an}的第10项.

    判断某数值是否为该数列的项的方法

    先假定它是数列中的第n然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的项.    

    [跟踪训练]

    在数列{an}a1=2a17=66通项公式ann的一次函数.

    (1)求{an}的通项公式;

    (2)判断88是不是数列{an}中的项?

    解:(1)设anknb(k≠0)

    解得

    an=4n-2.

    (2)令an=88即4n-2=88解得n=22.5N*

    88不是数列{an}中的项.

    由递推公式求数列的项

    [例3] (链接教科书第126页例3)数列{an}a1=1a23,aanan+2=(-1)n求{an}的前5项.

    [解] 由aanan+2=(-1)nan+2又∵a1=1a2=3a3=10a4=33a5=109.∴数列{an}的前5项为131033109.

    由递推公式求数列的项的方法

    (1)根据递推公式写出数列的前几项首先要弄清楚公式中各部分的关系依次代入计算即可;

    (2)若知道的是首项通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;

    (3)若知道的是末项通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.    

    [跟踪训练]

    1.已知数列{an}中的首项a1=1且满足an+1an则此数列的第三项是(  )

    A.1           B.

    C.  D.

    解析:选C 由题知a2×1=1a3×1.

    2.若数列{an}满足a1=2an+1nN*a1a2a3a4a5的值并根据前5项的值能否推断出a2 021的值?

    解:a2=-3

    a3=-

    a4

    a5=2=a1

    {an}是周期为4的数列

    a2 021a4×505+1a1=2.

    数列的单调性的判断及应用

    函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用而数列作为一种特殊的函数也具有单调性且单调性是数列的一个重要性质.数列的单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判定某一项是否为已知数列中的项等问题时都有重要的作用.

    1.数列单调性的判断

    (1)利用数列单调性的定义判断:

    作差法:即作差an+1an后与0进行比较.

    an+1an>0对于任意n(nN*)恒成立则数列{an}是递增数列;

    an+1an<0对于任意n(nN*)恒成立则数列{an}是递减数列;

    an+1an=0对于任意n(nN*)恒成立则数列{an}是常数列.

    作商法:即作商(务必要确定an的符号)后与1进行比较.

    对于任意n(nN*)an>0则当>1时数列{an}是递增数列;

    <1时数列{an}是递减数列.

    对于任意n(nN*)an<0则当<1时数列{an}是递增数列;

    >1时数列{an}是递减数列.

    对于任意n(nN*)an0,则当=1时数列{an}是常数列.

    (2)利用数列的图象直观地判断.

    2.利用数列的单调性确定变量的取值范围

    常利用以下的等价关系:

    数列{an}递增an+1an(nN*);

    数列{an}递减an+1an(nN*).

    进而转化为不等式成立(恒成立)通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征通过构建变量的不等关系解不等式(组)来确定变量的取值范围.

    [迁移应用]

    1.已知函数f(x) =若数列{an}满足anf(n)nN*且{an}是递增数列则实数a的取值范围是(  )

    A.(1,3)        B.(1,2]

    C.(2,3)  D.

    解析:选C 由题意知an

    因为数列{an}是递增数列所以

    n≤10时3a>0a<3;

    n>10时a>1.

    a10a11所以(3-a)×10-6<a11-9

    a2+10a-24>0

    即(a+12)(a-2)>0所以a<-12或a>2.

    综上可得a的取值范围为(23).

    2.已知数列{an}满足ann2λn(nN*)且对任意nN*anan+1恒成立则实数λ满足(  )

    A.λ>0  B.λ<0

    C.λ-2  D.λ>-3

    解析:选D 因为对任意nN*anan+1成立,所以数列{an}是递增数列.由ann2λn知(nan)(nN*)是函数f(x)=x2λx图象上的点而函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-事实上数列{an}是递增数列满足a1a2<…<an<…即可.欲满足上述不等关系需-解得λ>-3.

    3.已知数列{an},其通项公式为an=3n2n(nN*)判断数列{an}的单调性.

    解:法一:an=3n2nan+1=3(n+1)2-(n+1)an+1an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2n)=6n+2>0an+1an(nN*)故数列{an}是递增数列.

    法二:an=3n2nan+1=3(n+1)2-(n+1)·>1.

    an>0an+1an即数列{an}是递增数列.

    (注:这里要确定an的符号否则无法判断an+1an的大小)

    法三:令y=3x2x则函数的图象是开口向上的物线,其对称轴为直线x<1则函数y=3x2x上单调递增故数列{an}是递增数列.

    1.有下面四个结论:

    数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数;

    数列的项数一定是无限的;

    数列的通项公式的形式是唯一的;

    数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,不存在通项公式.

    其中正确的是(  )

    A.  B.①②

    C.③④  D.②④

    解析:选A 结合数列的定义与函数的概念可知正确;有穷数列的项数就是有限的因此②错误;数列的通项公式的形式不一定唯一错误;数列132639412515的一个通项公式为an错误.故选A.

    2.数列{an}an=3n-1a2等于(  )

    A.2  B.3

    C.9  D.32

    解析:选B 因为an=3n-1所以a2=32-1=3.

    3.数列0的一个通项公式是(  )

    A.an  B.an

    C.an  D.an

    解析:选C 已知数列可化为:0an.

    4.已知a1=1an=1+(n≥2)a5=________.

    解析:由a1=1an=1+a2=2a3a4a5.

    答案:

    5.已知数列,22是该数列的第________项.

    解析:∵a1a2a3a4

    an.

    =2得3n-1=20解得n=7

    2是该数列的第7项.

    答案:7

     

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