初中数学人教版八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试习题

这是一份初中数学人教版八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试习题，共5页。

1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
第1题 第2题 第3题
2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2.5
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（ ）
A．4cm B．2cm C．1cm D．m
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（ ）
A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB

第5题 第6题 第7题 第8题[来
6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（ ）
A．5m B．8m C．10m D．20m
7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共10小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 _________ ．
10．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ ．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为 _________ ．
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD= _______cm．

第9题 第10题 第11题 第12题
13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________ cm．

第13题 第14题 第15题 第16题
14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD= _________ cm．
15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为 _________ 米．
16．在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC= _________ ．
17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE= ______ cm．
18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是 _________ 海里．
三．解答题（共5小题）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．

21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．

22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．
23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

等边三角形（2）
：一、DABCCABC[来
二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；
16、10；17、3；18、10
三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
20、解：如图，连接DB．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠A=∠ABD，
∵BA=BC，∠B=120°，
∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，
∴∠ABD=30°，
又∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=120°﹣30°=90°，
∴BD=DC，
∴AD=DC．
21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3=30°；
在Rt△BCD中，
CD=BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
∴∠1+∠2=60°（外角定理），
∴∠1=∠2=30°，
∴AD=BD（等角对等边）；
∴AC=AD+CD=AD；
又∵AD=6，
∴AC=9．
22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=×4=2，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∠B=∠B，
故∠BCD=∠A=30°，
∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，
∴BD=1．
23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）解：结论AD+AB=AC成立．
理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，
∵∠BAC=60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC．