初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时当堂检测题

24.4 弧长和扇形面积

第 1 课时 弧长和扇形面积

1. 如图,点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( )

A.4�  −   3 B.4� -2 3

3 3

C.2�  −   3 D.2�  − 3

3 3 2

2. 如图,在正方形 ABCD 中,分别以 B,D 为圆心,以正方形的边长 a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分) 图案,则树叶形图案的周长为(              )

A.πa B.2πa C.1πa D.3a

3. 如图,四边形 OABC 为菱形,点 A,B 在以 O 为圆心的弧上,若 OA=2,∠1=∠2,则扇形 ODE 的面积为

( )

A.4π B.5π

C.2π D.3π

4. 如图,水平地面上有一面积为 30π cm2 的扇形 OAB,半径 OA=6 cm,且 OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直为止,则点 O 移动的距离为(              )

A.20 cm B.24 cm

C.10π cm D.30π cm

5. 已知一个扇形的圆心角为 100°,面积为 15π cm2,则此扇形的半径长为       .

6. 如图,已知等边三角形 ABC 的边长为 6,以 AB 为直径的☉O 与边 AC,BC 分别交于 D,E 两点,则劣弧

�ˆ� 的长为      .

7. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,两等圆☉A,☉B 外切,则图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为               .

8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6,三角形绕直角顶点 C 逆时针旋转,当点 A 的对应点 A'

落在 AB 边的起始位置上时即停止转动,则点 B 转过的路径长为       .

9. 如图,AB 是半圆的直径,AB=2R,C,D 为半圆的三等分点,求阴影部分的面积.

10. 图中的粗线 CD 表示某条公路的一段,其中�ˆ�  � 是一段圆弧,AC,BD 是线段,且 AC,BD 分别与圆弧

�ˆ�  � 相切于点 A,B,线段 AB=180 m,∠ABD=150°.

(1) 画出圆弧�ˆ�  � 的圆心 O;

(2) 求 A 到 B 这段弧形公路的长.

11. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE,点

B 经过的路径为�ˆ�  ,则图中阴影部分的面积是( )

12.如图,△ABC 内接于☉O,∠A=60°,BC=6   3,则�ˆ� 的长为( )

A.2π B.4π C.8π D.12π

13. 如图,将边长为 3 的正六边形铁丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形 AFB(阴影部分)的面积为               .

14. 如图,△ABC 是正三角形,曲线 CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中�ˆ� , �ˆ� , �ˆ� …的圆心依次按

A,B,C 循环,它们依次相连接,若 AB=1,则曲线 CDEF 的长是    .

15. 如图,已知四边形 ABCD 内接于圆 O,连接 BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.

(1) 求证:BD=CD;

(2) 若圆 O 的半径为 3,求�ˆ� 的长.

★16.如图,AB 为☉O 的直径,CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为 E,F.

(1) 请写出三条与 BC 有关的正确结论;

(2) 当∠D=30°,BC=1 时,求圆中阴影部分的面积.

★17.如图所示,在两墙(足够长)夹角为 60°的空地上,某花店老板准备用 30 m 长的篱笆(可弯折)围成一个封闭花圃(要求:①该篱笆要全部用尽;②两墙须作为花圃的两边使用;③面积计算均精确到个位).

(1) 按上述要求,店里三位员工分别想围成等边三角形、直角三角形、菱形的花圃,图①表示 30 m 长的篱笆,请你用此篱笆分别在图②、图③、图④上帮助他们画出指定的图形,并在图下方的横线上直

接写出相应的花圃面积;

篱笆图①

图②  等边三角形

面积:       m2

图③  直角三角形

面积:       m2

图④  菱形

面积:       m2

(2) 按上述要求,店老板决定把花圃围成扇形,请计算该扇形面积(不要求画图),并直接写出上述四个图  形中面积最大的图形名称.

参考答案

夯基达标

1.A 连接 OC,∵点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点,∴∠ABC=30°,∠BOC=120°.

∵AB 为直径,∴∠ACB=90°. 则 AB=2AC=4,BC=2 3,

则 S 阴=S 扇形 BOC-S△BOC

=120π·22 − 1 1 �·� = 4π − 3.故选 A.

360 2   2 3

2.A 由题意得,树叶形图案的周长为两条圆心角为 90°的弧长之和,所以其周长为 l=2·90π·� =πa.

180

3.A 连接 OB.因为 OA=OB=OC=AB=BC,

所以∠AOB+∠BOC=120°.

又因为∠1=∠2, 所以∠DOE=120°.

所以扇形 ODE 的面积为120π×4 = 4π.

360 3

4.C 点 O 移动的距离即扇形 OAB 所对应的弧长,先运用扇形的面积公式 S =� π� 2求出扇形的圆心

扇 形 360

角 n=300°,再由弧长公式 l=� π� ,得 l=10π(cm).

cm 设该扇形的半径长为 R cm,则100π×� 2=15π,解得 R=3 6.即该扇形的半径长为 3

5.3 6

360

6 cm.

6. π 连接 OD,OE,如图所示.

∵△ABC 是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°.

∵OA=OD,OB=OE,

∴△AOD,△BOE 是等边三角形,

∴∠AOD=∠BOE=60°.

∴∠DOE=60°.

∵OE=OA=1AB=3,

∴�ˆ� 的长=60π×3=π.

180

7.25π

4

∵∠C=90°,AC=8,BC=6,

∴AB=10,∠A+∠B=90°,

由等圆可知☉A,☉B 的半径为 5,根据扇形的面积计算公式,可得阴影部分的面积=90×π×52 = 25π.

360 4

8.2π

9. 分析 由 S△ACD=S△OCD,

知 S 阴影=S 扇形 OCD.

所以只要求扇形 OCD 的面积即可.

解 ∵�ˆ�  = �ˆ�  ,

∴∠CDA=∠DAB, 即 CD∥AB.

∴S△ACD=S△OCD.

∴S =S =� π� 2 = 60π� 2 = π� 2.

阴影 扇形 OCD 360 360 6

10. 解 (1)如图,过点 A 作 AO⊥AC,过点 B 作 BO⊥BD,AO 与 BO 相交于点 O,O 即为圆心.

(2)因为 AO,BO 都是圆弧�ˆ�  � 的半径,O 是其所在圆的圆心,所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.

所以△AOB 为等边三角形, 即 AO=BO=AB=180 m.

所以�ˆ�   = 60×π×180=60π(m), 180

即 A 到 B 这段弧形公路的长为 60π m.

培优促能

11.A ∵∠ACB=90°,AC=BC=1,∴AB= 2,

∴图中阴影部分的面积是

S +S -S =30π×( 2)2 = π.

△EAD 扇形 DAB      △ACB 360 6

12. B 连接 CO 并延长,与圆交于点 D,连接 BD,BO.

∵CD 为圆 O 的直径,

∴∠DBC=90°.

∵∠A 与∠D 为同弧所对的圆周角,

∴∠D=∠A=60°.

在 Rt△DCB 中,∠BCD=30°,

∴BD=1CD,设 BD=x,则有 CD=2x,

根据勾股定理得:x2+(6 3)2=(2x)2,

解得 x=6,

∴OB=OD=OC=6,且∠BOC=120°,

则�ˆ� 的长为120π×6=4π,故选B.

180

13.18

14.4π 关键是确定圆心角和半径.因为△ABC 是边长为 1 的正三角形,所以�ˆ�  , �ˆ� , �ˆ� 的圆心角都为

120°,对应的半径分别为 1,2,3.

因此�ˆ�   = 2π , �ˆ�  = 4π , �ˆ�   = 6π=2π.

3 3 3

所以曲线 CDEF 的长是2π + 4π+2π=4π.

3 3

15.(1)证明 ∵四边形 ABCD 内接于圆 O,∴∠DCB+∠BAD=180°.

∵∠BAD=105°,∴∠DCB=180°-105°=75°.

∵∠DBC=75°,∴∠DCB=∠DBC=75°.∴BD=CD.

(2) 解 ∵∠DCB=∠DBC=75°,∴∠BDC=30°.

由圆周角定理,得�ˆ� 的度数为 60°,故�ˆ�  = � π�   = 60π×3=π.

180 180

16. 解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如:

①BC=BD;②OF∥BC;③∠BCD=∠A;

④BC2=CE2+BE2;

⑤△ABC 是直角三角形;

⑥△BCD 是等腰三角形.

(2)连接 OC,则 OC=OA=OB.

∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∴∠AOC=120°.

∵AB 为☉O 的直径,

∴∠ACB=90°.

在 Rt△ABC 中,BC=1,∴AB=2,AC= 3.

∵OF⊥AC,∴AF=CF.

∵OA=OB,∴OF 是△ABC 的中位线.

∴OF=1BC=1.

2 2

∴S△AOC=1AC·OF=1 ×    3 × 1  =   3,S AOC=1π×OA2=π.

2 2 2 4 扇形 3 3

∴S =S AOC-S△AOC=π  − 3.

阴影 扇形 3 4

创新应用

17. 解 (1)如图,图②中△ABC 是边长为 30 m 的等边三角形,图③中△ABC 是直角边 BC 的长为 30 m 的直角三角形,图④中四边形 ABDC 是边长为 15 m 的菱形.

图②中,等边三角形 ABC 的面积=1×30×15  3=225  3(m2),

图③中,直角三角形 ABC 的面积=1×10  3×30=150  3(m2),

图④中,连接 BC,菱形 ABDC 的面积=1×15×15 3×2=225 3(m2).

2 2 2

图② 等边三角形面积:390 m2

图③ 直角三角形面积:260 m2

图④ 菱形面积:195 m2

(2)根据弧长公式 l=� π� ,得 R=180�  = 90.

180 � π π

代入扇形面积公式,得 S =1 × 90×30=1 350≈430(m2).

扇形  2 π π

四个图形中面积最大的图形是扇形.