2021-2022学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷（word版 无答案）

2021-2022学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°

3．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在

4．方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 

C．没有实数根 D．无法判断

5．将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，冉向上平移3个单位得到的表达式是（　　）

A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x+1）2﹣3 

C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x+1）2+3

6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA＝AB，则∠AOB＝（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

8．已知：如图，直线yx﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（　　）

A．9 B．20 C．10 D．5

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最 　 　值是 　 　．

10．将二次函数y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为y＝　 　．

11．若x＝a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个实数根，那么代数式3+2a2﹣3a＝　 　．

12．如图，⊙O的半径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝4，那么AB的长是 　 　．

13．点A（﹣3，y1）、B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣2x上，则y1　 　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）

14．如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．连接BD，则∠CBD＝　 　．

15．一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为 　 　．

16．京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，﹣4），线段CD为半圆的直径，且CD＝4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为﹣2，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有 　 　．（填正确结论的序号）

①图形G关于直线y＝0对称；

②线段MN的长为2；

③扇形OMA的面积S扇形OMA＝π；

④当﹣4＜a＜2时，直线y＝a与图形G有两个公共点．

三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18-22题，每题5分；第23-25题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．解方程x2﹣4x﹣2＝0．

18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；

（2）根据图像回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 　 　．

19．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，求此时方程的解．

20．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为A（1，0）和B（0，﹣5）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若此抛物线的对称轴交x轴于点C，求S△ABC．

21．已知：如图，点A（﹣3，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1）是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移

3个单位长度．

（1）请画出平移后的图形△A1B1C1；

（2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 　 　．

22．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．

（1）求每个月盈利的增长率；

（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？

23．下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．

已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．

求作：过A点的⊙O的一条切线．

作法：①连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；

②以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；

③连接OB交⊙O于点C，作直线AC；

则直线AC是⊙O的一条切线．

请你根据小海同学的设计的尺规作图过程．

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成证明：

∵OB＝DE＝2OD＝2OC，

∴点C为OB的中点．

∵AO＝AB，

∴AC⊥OB（ 　 　）（填推理的依据）．

又∵OC是⊙O的半径．．

∴AC是⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）．

24．法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2，x1•x2．

后来人们将这个一元二次方程根与系数的关系称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．

请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：

（1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　；

（2）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则x12+x22的值是 　 　；

A.15

B.12

C.6

D.3

（3）若x1，x2是两个不相等的实数，且满足x12﹣2x1＝5，x22﹣2x2＝5，那么x1•x2＝　 　．

25．已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若点F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于点N．

①请补全图形；

②若DE，求FN的长．

26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4．

（1）若抛物线经过点（3，0）；

①求该抛物线的表达式；

②将抛物线在第一象限的部分记为图象G．如果经过点（﹣1，4）的直线y＝kx+t与图象G有公共点，请在图1中结合函数图象，求t的取值范围；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．记抛物线与x轴的交点为A、B．若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，请结合函数图像，直接写出m的取值范围．

27．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点，线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF，直线EF交直线AB于点G．

（1）如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD＝20°，则∠AGE＝　 　；

（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O，OG＝OA，AG＝AD，求证：GF＝FD．

（3）如图3，若∠BAC＞60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF＝AE时，请直接写出∠FAC与∠DAC的数量关系．

28．在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为R∠MON．

例如，图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．

已知∠MON＝60°，H、I是∠MON的内嵌点时，

（1）当OH＝OI＝2时，R∠MON的最小值是 　 　；

（2）当OH＝2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；

（3）当OH≤OI，R∠MON＝3，l弧HI＝2π时，求线段OI长度的范围．