备战2022年中考数学专项解题方法归纳探究 - 模板10 三角形专项练习

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1．（2021·山东济南·九年级专题练习）某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A．20米B．10米C．10米D．20米
【答案】C
【详解】
解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=60°30°=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=20米，
∴BC=BD•sin60°=10（米），
故选：C．
2．（2020·陕西）如图，在直角△ABC中，，AB=AC，点D为BC中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；② AE=CF；③△BDE≌△ADF；④ BE+CF=EF，其中正确结论是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【详解】
∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
又∵∠MDN是直角，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵BE+CF=AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．
3．（2021·浙江宁波·）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【详解】
解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确；
②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误；
③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
4．（2019·山东）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=，
∴∠EBC=∠DCA，
在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
5．（2021·山东九年级一模）如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）
A．2，B．4，C．，D．2，
【答案】A
【详解】
由题意可得：，，
∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”，
∴根据题意可得：，
∴，
∴，
，
∴总结出，
∵，，，
∴归纳得出一般规律：，
∴，
故选：A．
6．（2021·日照港中学九年级三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2aB．2 aC．3aD．
【答案】B
【详解】
解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE=，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2 a，
故选择：B．
7．（2019·山西九年级专题练习）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】
解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
8．（2021·重庆南岸·）如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC=120°，
∴∠GAC=60°，
∴DG=ADsin∠GAC=AC·sin∠GAC=×12×=，
AG=ADcs∠GAC=AC·cs∠GAC=×12×=3，
设AE=x，则BE=12-x=DE，
在Rt△DGE中，，
即，
解得：x=，
∴S△ADE=DE×AE==，
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∴AN=AB=6，BN=，
∴BC=，
设DF=y，
则CF=BC-DE==，
DH=CD·sin∠C=，CH=CD·cs∠C=，
则有，即，
解得：，
则S△DFC=，
∴S△DEF=×（S△ABC-S△DEA-S△DFC）
=
=
=
故选A．
二、填空题
9．（2019·河南九年级其他模拟）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
【答案】60°
【详解】
解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
故答案为：60°．
10．（2020·安徽中考模拟）如图，等腰底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则的周长最小值为_____cm．
【答案】8
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
11．（2019·甘肃中考模拟）如图，，要使，还需添加一个条件是：______．（填上你认为适当的一个条件即可）
【答案】或或
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
12．（2021·内蒙古九年级其他模拟）在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和AB的中点，DE和FC交于点M，连接AM．若BC=5，则AM的长度为___．
【答案】5
【详解】
分别延长CF和DA,相交于G点,
∵正方形ABCD中,点E,F分别为BC和AB的中点,
∴FB=EC,∠FBC=∠ECD=90°,BC=CD,
∴△FBC≌△ECD(SAS).
∴∠BFC=∠CED.
∵∠BFC+∠BCF=90°,
∴∠CED+∠BCF=90°,
∴∠EMC=90°,
∴ED⊥CF.
∵∠GAF=∠CBF,AF=BF,∠AFG=∠BFC,
∴△AFG≌△BFC(ASA),
∴AG=BC=AD,
∴点A为GD的中点.
∴在Rt△GMD中,AM=AD=BC=5.
三、解答题
13．（2019·陕西）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°,∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
（1）在等腰直角△ABC中，
∵AC=BC
∵∠CAD=∠CBD=15，
∴∠BAD=∠ABD=45-15=30，
∴BD=AD，
在△BDC和△ACD中
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30+30=60，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15+45=60，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；
（2）如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=DB．
14．（2019·武汉市光谷实验中学中考模拟）如图在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠CAE=∠ACB=60°，AC=AB，
在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．
（2）∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠CAE=60°．
15．（2021·湖北黄冈·九年级一模）如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）菱形
【详解】
解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴是等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
16．（2019·丹东市第五中学九年级二模）如图，∠MON=30°，点A、A、A、A…在射线ON上，点B、B、B…在射线OM上，△ABA、△ABA、△ABA…均为等边三角形，若OA=1，则△ABA的边长为_________．
【答案】32
【详解】
解:∵△ABA是等边三角形
∴AB= AA,∠BA A=60°
∵∠MON=30°
∴∠O BA=∠BA A－∠MON=30°
∴∠O BA=∠MON
∴AO =AB=1
∴等边三角形△ABA的边长为1=20=21－1,O A= OA + AA=2;
同理可得: AO =AB=2
∴等边三角形△ABA的边长为2=21=22－1,O A= O A + AA=4;
同理可得: AO =AB=4
∴等边三角形△ABA的边长为4=22=23－1,O A= O A + A A=8;
∴等边三角形△ABA的边长为,
∴△ABA的边长为: .
故填32.
17．（2020·山西九年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
【答案】（1）∠ECD=36°；（2）BC长是5．
【详解】
解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
18．（2021·辽宁）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P.
（1）求证：BF＝CE；
（2）求∠BPC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形
在△ABF和△BCE中
∴△ABF≌△BCE
∴BF=CE；
（2）∵△ABF≌△BCE
∴∠ABF=∠BCE
∵∠ABF+∠FBC=60°
∴∠BCE+∠FBC=60°
∴∠BPC=180°-（∠BCE+∠FBC）=180°-60°=120°．
19．（2019·湖北武汉·中考模拟）如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF；
∴DF=BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴∠B=∠D，
∴．
20．（2021·内蒙古九年级一模）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，且，连接，．求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵在矩形中，为对角线的中点
∴，
∴
在和中
∴
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
又∵
∴平行四边形为菱形．