华师大版八年级上册12.5 因式分解教案

公式法因式分解

教学过程设计

　　一、复习

　　1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

　答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　   (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　     =(4m2+n2)(4m2－n2)

　　     =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).　　

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　　　　　　　　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

　　二、新课

　　和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

　　　　　　　　　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

　　问：具备什么特征的多项是完全平方式?

　　答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

　　问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

　　(1)x2+6x+9；　　　　　(2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1；　　　(4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

　　　　　　　　　　　　　　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　　　　　　　　　　　　　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

　　请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式为：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

三、课堂练习(投影)

　　1.填空：

　　(1)x2－10x+（　　）2=（　　）2；

　　(2)9x2+（　　）+4y2=（　　）2；

　　(3)1－（　　）+m2/9=（　　）2.

　　2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.

　　(1)x2－2x+4；　　　　　　(2)9x2+4x+1；　　　　(3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4；　　　　　(5)1－a+a2/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144；　　　　　　　　(2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2；　　　　　　　(4)14a2－ab+b2.

　　答案：

　　1.(1)25，(x－5) 2；　　　　(2)12xy，(3x+2y) 2；　　　　(3)2m/3，（1－m3）2.

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.

　　 (2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

　　3.(1)(a－12) 2；　　　　　　(2)(2ab+1) 2；

　　  (3)(13x+3y) 2；　　　　　　(4)（12a－b）2.

　　四、小结

　　运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

　　1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.

　　五、作业