初中数学26.1 二次函数教案

这是一份初中数学26.1 二次函数教案，共43页。教案主要包含了情景创设，实践与探索，讲解新课，巩固新课，布置作业，作业等内容，欢迎下载使用。
课题
二次函数的概念
课型
新授
教学目标
1．使学生理解二次函数的概念．
2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围．
3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题．
重点和难点
重点：对二次函数概念的理解．
难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．
教具准备
投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、情景创设
　　 1．什么叫函数？它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．)
二、实践与探索
　　函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．
例1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？
　　解：函数关系式是y=x2(x＞0)(写在黑板上)
例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
　　解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上)
　　由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．
三、讲解新课
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．
巩固对二次函数概念的理解：
　　1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．
　　2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．
　　3．在y=50x2＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50．
　　4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
　　5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．
　　若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2．
　　以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
四、巩固新课
例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c．
(1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)；　(3)y=3x(2-x)＋3x2；　(4)y＝(x＋2)(2-x)；
(5)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是关于x2的二次函数)
例2．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：．
解 若函数是二次函数，则 ．解得 ，且．因此，当，且时，函数是二次函数．
回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
延伸：已知函数是二次函数，求m的值．

例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
例4． 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．


例5． 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．


五、布置作业
　　1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．
　　2．已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值．
　　3．已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k．
　　4．已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值
5. 当k为何值时，函数为二次函数？










课题
二次函数的图象与性质（1）——二次函数y=ax2的图象
课型
新授
教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．
2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识．
3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．
重点和难点
重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．
难点：渗透数形结合思想．
教具准备
投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一 、情境导入
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
二、新课
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）




共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．　　
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得．
列表：
C
2
4
6
8
…


1

4
…
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
补充例题
　1．已知点M(k，2)在抛物线y=x2上，
　　(1)求k的值．
　　(2)点N(k，4)在抛物线y=x2上吗？
　　(3)点H(-k，2)在抛物线y=x2上吗？
　2．已知点A(3，a)在抛物线y=x2上，
　　(1)求a的值．
(2)点B(3，-a)在抛物线y=x2上吗？
三、小结
　　1．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
　　2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上．
　　3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
四、作业：
1、已知函数是二次函数，求m的值．
2、已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
3、已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
4、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
五、教学注意问题
　　1．注意渗透分类讨论思想．比如在y=ax2中a＞0时，y=ax2的图象开口向上；当a＜0时，y=ax2的图象开口向下，等等．
　　2．注意训练学生对比联想的思维方法．
　



















课题
二次函数的图象与性质（2）—二次函数的图象
课型
新授
教学目标
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重点和难点
重点：通过画图得出二次函数性质
难点：识图能力的培养
教具准备
投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、情境导入
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？
，那么与的图象之间又有何关系？ ．
二、实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解 列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…
18
8
2
0
2
8
18
…

…
20
10
4
2
4
10
20
…




描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同
的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？


三、小结
谈下你有哪些收获？

四、作业
1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
2、





















课题
二次函数的图象与性质（3）二次函数的图象
课型
新授
教学目标
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重点和难点
重点：通过画图得出二次函数性质
难点：识图能力的培养
教具准备
投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、情境导入
　　我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
二、 实践与探索
　例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…

2

0

2

…

…

0

2

8

…

…

8

2

0

…






描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．







它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
练习：
1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
三、小结与作业
1．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
2．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求的值．















课题
二次函数的图象与性质（4）—函数+k的图象
课型
新授
教学目标
1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重点和难点
重 点：函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
难 点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
教具准备
投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、情境导入
1、函数y=ax2＋k的图象性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，最值）
2、说出函数y=－x2， y=－x2－1的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。
3、由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
二、实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．



x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…

2

0

2

…

…
8

2

0

2
…

…
6

0

-2

0
…







它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
小结：y=a(x－h)2＋k （1）开口方向由a决定，（2）对称轴是直线x=h，当h0时在y轴右侧，（3）顶点坐标为（h,k ），(4)最值:当a>0时，x=h时y最小值=k,当a