2020-2021学年27.3 圆中的计算问题教学设计

28.3 圆中的计算问题（第一课时）
   

教学内容

    1．n°的圆心角所对的弧长L=

   2．扇形的概念；

    3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；

    4．应用以上内容解决一些具体题目．

    教学目标

    了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

    通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

    重难点、关键

    1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．

    2．难点：两个公式的应用．

    3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．

    教具、学具准备

    小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．

    教学过程

    一、复习引入

    （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．

    1．圆的周长公式是什么？

    2．圆的面积公式是什么？

    3．什么叫弧长？

    老师点评：（1）圆的周长C=2R

              （2）圆的面积S图=R2

              （3）弧长就是圆的一部分．

    二、探索新知

    （小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：

    1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．

    2．1°的圆心角所对的弧长是_______．

    3．2°的圆心角所对的弧长是_______．

    4．4°的圆心角所对的弧长是_______．

    ……

    5．n°的圆心角所对的弧长是_______．

    （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：

    n°的圆心角所对的弧长为

例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）

    分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．

    解：R=40mm，n=110

    ∴的长==≈76.8（mm）

    因此，管道的展直长度约为76.8mm．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

    （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

    （2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

    学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

    像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

    （小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：

    1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．

    2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

    3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

    4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

    ……

    5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

    老师检察学生练习情况并点评

    1．360  2．S扇形=R2  3．S扇形=R2  4．S扇形=  5．S扇形=

    因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

S扇形=

例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

    分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

    解：的长=×10=≈10.5

    S扇形=×102=≈52.3

    因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．

    三、巩固练习

    课本P122练习．

    四、应用拓展

例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

                (a)                                   (b)

    （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．

解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．

    ∵四边形ABCD是正方形

    ∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，

    又∠MON=90°，∠AOM=∠DON

    ∴△AMO≌△DNO

    ∴AM=DN

    ∴AM+AN=DN+AN=AD=a

    特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．

    故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

    （2）120°；70°

    （3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．

    五、归纳小结（学生小结，老师点评）

    本节课应掌握：

    1．n°的圆心角所对的弧长L=

    2．扇形的概念．

    3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=

    4．运用以上内容，解决具体问题．

    六、布置作业

    1．教材P124  复习巩固1、2、3  P125  综合运用5、6、7．

2．选用课时作业设计．