青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.2 确定圆的条件教案

确定圆的条件

教学目标

(一)教学知识点

探索并理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

(二)能力训练要求

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．

2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法．

(三)情感与价值观要求

1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

教学重点

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．

2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

教学方法    “自主-导学-阳光”高效学习法

自主预习

让学生根据学习目标自主预习，并根据自己的能力完成学案上的部分题目。

课堂展示

师：这节课我们共同探讨确定圆的条件，请同学带领大家一起来明确一下本节课的学习目标。

生：本节课的的学习目标是：

探索并理解确定圆的条件，会利用尺规过不在同一直线上的三点作圆。（重点、难点）

了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。

生活中的学问：

一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？

用“破镜重圆”的故事激发学生主动学习的积极性，可让学生分别说一下他们对于这个问题的想法，教师不用讲解。

生：如果确定了圆心和半径就可以画出瓷器碎片所在的整圆了。  

师：如何才能确定圆心和半径呢？根据现有的知识，同学们可能很难解决，那么我们先回忆一下直线是如何被确定的。

温故知新：过一点可以作几条直线？过两点可以作几条直线？

生：过一点有无数条直线，两点确定一条直线。

师：“确定”的意思是有且只有。

自主探究一：经过一个已知点A能作出多少个圆?你是怎样画这些圆的?这些圆的圆心和半径能确定吗？

                                               •  A

生：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个．

自主探究二：经过两个已知点A、B能作出多少个圆?你是怎样画这些圆的?这些圆的圆心在怎样的一条直线上?这些圆的半径能确定吗？

生：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)

引出问题：一个点和两个点都不能确定一个圆，三个点可以吗？（先自主思考，再小组交流，最后代表展示。）

这里不用指明三点是否共线，目的是让同学们在探究的过程中体会分类讨论思想。

合作探究：经过三个点A，B，C能作出圆吗？

假设经过A、B、C三点的⊙O存在

（1）圆心O到A、B、C三点距离        ­­；

（2）连结AB、AC，

     O点应在AB的                   ；

     同时也应在AC的                   ；

（3）圆心O应该是                      。

(4)画一画：已知：不在同一直线上的三点A、B、C,

求作⊙O，使它经过点A、B、C。

学生黑板展示圆的作法时，不要求写出作图步骤，但要要求边作图边口述作法。

师：他的做法符合要求吗？小组交流。

生：符合要求．

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．

师：经过不在同一直线上的三点能作几个圆？为什么？

生：因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心；又因为OA=OB=OC，所以半径也唯一确定，即只能作出一个满足条件的圆．

师：非常好，那么过如下三点能不能作圆?  为什么?

学生探究并讲解：

由于A、B、C三点共线，所以AB的垂直平分线与BC的垂直平分线平行，没有交点，也就找不到圆心。所以共线三点不能画圆。

有的学生用反正法证明的，要表示肯定，但不要求所有同学掌握，下一节详细讲解即可。

师：由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

即，不在同一直线上的三个点确定一个圆．

注意： “不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．

牛刀小试：（先自主解答，学生展示并讲解）

1、按图填空：

    (1)△ABC是⊙O的     三角形。

    (2)⊙O是△ABC的     圆 。

2、判断题：

 (1)经过三个点一定可以作圆；（  ）

 (2)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一　

　　个外接圆;（  ）

 (3)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形; (   )    

 (4)三角形外心到三角形各顶点的距离都相等.(   )

  接下来介绍有关概念：

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．

(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

师：强调“接”指的是三角形的顶点和圆的关系。                                                                                  拓展：三角形的外心有什么特点？请同学们小组交流。

生：外心是三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，三角形有且只有一个外心。

综合学生的回答，归纳总结外心的特点，并指出其中“外心是三角形三边的垂直平分线的交点”这一特点也是确定三角形外心的方法。同时引出问题：外心一定在三角形内部吗？

试一试：画出过以下三角形的顶点的圆

观察比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？

锐角三角形的外心位于三角形     ,直角三角形的外心位于     ,钝角三角形的外心位于       。

（请三个学生板演展示以上三角形外接圆的画法，并利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来引导学生理解为什么直角三角形的外心恰好是斜边的中点。）

师：观察比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？

生：锐角三角形的外心位于三角形内部,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外部。

师：怎样证明直角三角形的外心位于斜边的中点？小组合作。

生：因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即斜边的中点到直角三角形三个顶点的距离相等，根据外心的唯一性可知，直角三角形的外心是斜边的中点。

  典例分析：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，求这个三角形的外接圆直径。

让学生先独立思考，会的同学板演，其他同学小组合作探究完成后，听板演的同学讲解作法，其他同学再质疑。通过我板演（讲解）、我探究、我质疑三环节，体现学生的主体地位。强调分类讨论思想。

中考链接：如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（  ）

通过例题的探究，学生已经知道了求直角三角形外接圆的直径可以转化为求直角三角形斜边的长度，所以在做中考链接时，只需提醒学生构造直角三角形就可以。                                           

当堂达标：

1.下列命题不正确的是（      ）

A.过一点可以作无数个圆.     B.过两点可以作无数个圆.

C.弦是圆的一部分.        D.过同一直线上三点不能画圆.

2.三角形的外心具有的性质是（      ）

A.到三边的距离相等.       B.到三个顶点的距离相等.

C.外心在三角形的外.       D.外心在三角形内.

3.若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（     ）

  A.等边三角形.    B.锐角三角形    C.直角三角形.       D.钝角三角形.

拓展提升：已知⊙O的直径为2，其内接三角形为等边△ABC，求△ABC的边长。

此题的设计是为后面学习正多边形与圆的关系

做铺垫的，解题关键是要根据“三线合一”说明

外心的位置，然后利用锐角三角比求出边长。

课堂小结：

先给学生发言的机会，因为学生的总结总会给我们一些意想不到的收获，当然教师最后的收尾总结也是必不可少的。

在学生回答的基础上，教师加以小结：

(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题,了解了三角形的外接圆、外心及圆的内接三角形的定义，探究了外心的特点，以及如何找一个给定三角形的外心．

(2)我们在分析过已知点作圆的问题时，紧紧抓住对圆心和半径的探讨．已知圆心和半径就可作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思想，因此作圆的问题，是如何根据已知条件找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定．因此作圆的问题就又变成了找圆心的问题．

(3)学习本节定理，必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的．

关于“内接”与“外接”这两个术语，同学们要明白 “内”与“外”是相对的概念，以一个图形为准，说明另一个图形是在它的里面或外面，这样内外关系即可自明．

    （4）本节课涉及到的数学思想有数形结合、分类讨论、转化思想。