2020-2021学年第3章 圆锥曲线与方程本章综合与测试优秀课时作业

圆锥曲线与方程

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　抛物线的标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，∴焦点坐标为.

2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)

A．2sin 40°  B．2cos 40°

C．  D．

解析：选D　由题意可得－＝tan 130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故选D.

3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋y2＝1

C.＋y2＝1  D.＋y2＝1

解析：选A　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，

∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴椭圆的方程为＋＝1.

4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线－＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为(　　)

A．2－2  B.＋1

C．2  D．2

解析：选A　在双曲线－＝1中，a2＝(－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m.因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，则＝＝，所以＝＝，所以＝，解得m＝2－2.故选A.

5．已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·等于(　　)

A．－12  B．－2

C．0  D．4

解析：选C　由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取点P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.

6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

解析：选D　过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由消y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.

7.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　)

A.，1  B.，1

C．5，3  D．5，4

解析：选A　∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.

8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由题意设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则点P的坐标为，A(a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，于是kAB＝－，kPF2＝－，由kAB＝kPF2得b＝2c，故a＝c，e＝＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有(　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

解析：选ACD　对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两条直线，正确．综上选A、C、D.

10．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

解析：选BD　因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为＋＝1.

11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　)

A.＝2  B．e1e2＝

C．e＋e＝  D．e－e＝1

解析：选BD　因为·＝0且＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．

设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝.

在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，

则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，

所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选B、D.

12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于(　　)

A.  B．2

C.  D.

解析：选AC　设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A、C.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．

解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，

故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．

故椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

14．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．

解析：∵m∈[－2，－1]，

∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，

∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤.

答案：[，]

15．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．

解析：抛物线y2＝8x的焦点F(2，0)，双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，则点F(2，0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝.双曲线右焦点的坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.

答案：　7

16．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．

解析：由题意可得e＝＝2，则c＝2a，其中一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为bx±ay＝0，

所以＝＝b＝1，

又c2＝4a2＝a2＋b2，

所以a2＝，

所以所求双曲线的方程为3x2－y2＝1.

答案：3x2－y2＝1

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线．

(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；

(2)若命题q为假命题，求m的取值范围．

解：(1)根据题意，得

解得0＜m＜2，

故命题p为真命题时，m的取值范围为(0，2)．

(2)若命题q为真命题，则(m＋1)(m－1)＜0，解得－1＜m＜1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．

解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，

∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，

∴所求抛物线的方程为y2＝4x.

∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，

∴c＝1，即a2＋b2＝1，

又点P在双曲线上，∴－＝1，

解方程组

得或(舍去)．

∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.

19．(本小题满分12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.

对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由．

解：因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合．

又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，

所以条件④不适合题意．

当选择条件③时，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2，

此时适合题意．

故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.

20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.

解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．

把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，

∴λ＝6，∴所求双曲线方程为－＝1.

(2)由(1)知双曲线方程为－＝1，

∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．

∵点M在双曲线上，

∴32－m2＝6，∴m2＝3.

∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.

21．(本小题满分12分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝(x－2)．

联立得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2，

即＝2·，

得a＝3，而a2－b2＝4，所以b＝，

故椭圆C的方程为＋＝1.

22．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知定点E(－1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．

解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0.

依题意解得

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)假设存在这样的k值，由得

(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.

∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.解得k＞1或k＜－1. ①

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 ②

而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1，0)，

当且仅当CE⊥DE时成立，则·＝－1.

即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.

∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③

将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．

综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.