高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算学案，共13页。学案主要包含了空间向量的夹角，空间向量的数量积，空间向量的投影向量等内容，欢迎下载使用。
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角
问题1 平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？
提示 在平面中任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是两向量的夹角．
知识梳理
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq \(AC,\s\up6(→))分别与向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))，eq \(B′A′,\s\up6(———→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))的夹角．
解 连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(A′B′,\s\up6(———→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′A′,\s\up6(———→))〉＝180°－〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝90°.
反思感悟 (1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟踪训练1 在正四面体ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积
知识梳理
1．定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cs〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的运算律
3.数量积的性质
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b