苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示第2课时学案及答案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示第2课时学案及答案，共16页。学案主要包含了空间向量数量积，利用向量的坐标运算解决平行等内容，欢迎下载使用。

导语
对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？
一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
问题1 设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？
提示 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下：
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则
a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k，
b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k.
a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)
＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j
＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
知识梳理
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
注意点：
(1)数量积的结果为数量．
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
例1 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
答案 －4
解析 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点．
①求证：EF⊥B1C；
②求cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C1G,\s\up6(→))〉；
③求|eq \(FH,\s\up6(→))|.
①证明 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0))，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(B1C,\s\up6(→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×(－1)＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＝0，
∴eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(B1C,\s\up6(→))，即EF⊥B1C.
②解 因为eq \(C1G,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，－1)).
所以|eq \(C1G,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(17),4).
又eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(C1G,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×0＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq \f(3,8)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C1G,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(C1G,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))|·|\(C1G,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(51),17).
③Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))，
eq \(FH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2))).
∴|eq \(FH,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(1,4)＋\f(9,64)＋\f(1,4))＝eq \f(\r(41),8).
反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．
跟踪训练1 已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值．
解 (1)∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，
且a∥b，b⊥c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2)，,3＋y－2z＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1.))
(2)由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)，
∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)．
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝eq \r(22＋22＋32)＝eq \r(17)，
|b＋c|＝eq \r(42＋02＋－12)＝eq \r(17).
∴向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为
eq \f(5,\r(17)×\r(17))＝eq \f(5,17).
二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
问题2 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系O－xyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，eq \(P1P2,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))－eq \(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(P1P2,\s\up6(—→))·\(P1P2,\s\up6(—→)))
＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)，
所以P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|
＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
问题3 如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？
提示 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点为P，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).
知识梳理
在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
(1)AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).
(2)线段AB的中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).
注意点：
(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．
(2)空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广．动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面．
例2 如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值．
解 依题意知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，
设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
PQ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－z))2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，
所以当z＝eq \f(1,2)时，PQmin＝eq \f(\r(2),2)，
此时Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Q恰为CD的中点．
反思感悟 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
跟踪训练2 已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
解 (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度
MN＝eq \r(3－12＋2－02＋1－52)＝2eq \r(6)，
所以线段MN的长度为2eq \r(6).
(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等．
所以有下面等式成立：
eq \r(x－32＋y－22＋z－12)
＝eq \r(x－12＋y－02＋z－52)，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.
三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例3 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq \(B1P,\s\up6(→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．
解 如图所示，以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3eq \(B1P,\s\up6(→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝eq \f(3,4)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝0，
解得b＝eq \f(1,4)，
所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，
因为eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，
所以(－1，－1,0)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，
所以eq \f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.
延伸探究
1．若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
解 以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)，
因为B1Q⊥EQ，所以eq \(B1Q,\s\up6(→))·eq \(EQ,\s\up6(→))＝0，
所以(c－1，c－1，－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，c，－\f(1,2)))＝0，
即c(c－1)＋c(c－1)＋eq \f(1,2)＝0，
4c2－4c＋1＝0，
解得c＝eq \f(1,2)，
所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
所以点Q是线段BD的中点，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝－2eq \(DQ,\s\up6(→))，故λ＝－2.
2．本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
解 以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，因为点H在xDy平面上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为eq \(GH,\s\up6(→))＝(m，n,0)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)，n，－\f(1,2)))，eq \(BD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)，且eq \(GH,\s\up6(→))∥eq \(BD1,\s\up6(→))，所以eq \f(m－\f(1,2),－1)＝eq \f(n,－1)＝eq \f(－\f(1,2),1)，解得m＝1，n＝eq \f(1,2)，所以点H的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，所以H为线段AB的中点．
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
跟踪训练3 已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))
解析 设H(x，y，z)，则eq \(OH,\s\up6(→))＝(x，y，z)，
eq \(BH,\s\up6(→))＝(x，y－1，z－1)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．
因为BH⊥OA，
所以eq \(BH,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝0，
即－x＋y－1＝0，①
又点H在直线OA上，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OH,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝λx，,1＝λy，,0＝λz，))②
联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝0.))
所以点H的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).
1．知识清单：
(1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示．
(2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式．
(3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题．
2．方法归纳：坐标法．
3．常见误区：
(1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错．
(2)混淆空间向量平行与垂直的条件．
1．若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)等于( )
A．－212 B．－106 C．106 D．212
答案 A
解析 (2a－3b)·(a＋2b)
＝(－10,13，－14)·(16，－4,0)
＝－10×16＋13×(－4)＝－212.
2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1,2,2)，(2，－2,1)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|等于( )
A．18 B．12 C．2eq \r(3) D．3eq \r(2)
答案 D
解析 |eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(2－12＋－2－22＋1－22)＝3eq \r(2)，故选D.
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
答案 D
解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq \f(7,5).
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
又∵〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,3).
课时对点练
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为( )
A.eq \f(\r(53),4) B.eq \f(53,2)
C.eq \f(\r(53),2) D.eq \f(\r(13),2)
答案 C
解析 ∵AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3))，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)，3))，
故CM＝|eq \(CM,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋32)＝eq \f(\r(53),2).
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋1－λ2＋λ2)＝eq \r(29)，
且λ>0，解得λ＝3.
3．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
而|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，
所以cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝－eq \f(1,2)，
所以〈a，c〉＝120°.
4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,4，－8)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(5,1，－7)，
eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝10－3－7＝0，
∴BC⊥AC，
而|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5eq \r(3)，
所以△ABC是直角三角形．
5．从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)方向取点Q，使PQ＝18，则Q点的坐标为( )
A．(－1，－2,3) B．(9,4，－13)
C．(－7,0,19) D．(1，－2，－3)
答案 C
解析 设Q(x0，y0，z0)，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝λv(λ>0)，
即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8)．
由PQ＝18，得eq \r(－4λ2＋－λ2＋8λ2)＝18，
所以λ＝2，
所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝2(－4，－1,8)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－7，,y0＝0，,z0＝19.))
6．(多选)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，则下列结论正确的是( )
A．a·(b＋c)＝4
B．(a－b)·(b－c)＝－8
C．记a与b－c的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(1,3)
D．若(a＋λb)⊥c，则λ＝3
答案 ABD
解析 由题意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4，(a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2)＝－2－4－2＝－8.
cs θ＝eq \f(a·b－c,|a||b－c|)＝eq \f(1，1，－1·2，－2，2,\r(12＋12＋－12)·\r(22＋－22＋22))＝－eq \f(1,3).
因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，
即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0，
得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项ABD正确．
7．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.
答案 －1
解析 ∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
8．已知a＝(cs α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cs α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
答案 90°
解析 ∵a＝(cs α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cs α)，
∴a＋b＝(sin α＋cs α，2，sin α＋cs α)，
a－b＝(cs α－sin α，0，sin α－cs α)，
∴(a＋b)·(a－b)＝cs2α－sin2α＋sin2α－cs2α＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．∴向量a＋b与a－b的夹角是90°.
9．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．
解 (1)因为a∥b，所以eq \f(x,－2)＝eq \f(4,y)＝eq \f(1,－1)，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得，
a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为
cs θ＝eq \f(a＋c·b＋c,|a＋c|·|b＋c|)＝eq \f(5－12＋3,\r(38)×\r(38))＝－eq \f(2,19).
10．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝2eq \r(2)，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中，
(1)求点A，B，C，P的坐标；
(2)求AB，PC的中点之间的距离．
解 (1)取AC的中点O，连接OB，OP.
因为△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2eq \r(2).
所以AC＝4，OB＝2.
因为PA＝PB＝PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.
故PO⊥平面ABC.
因为PA＝3，所以PO＝eq \r(PA2－AO2)＝eq \r(32－22)＝eq \r(5).
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0，eq \r(5))，A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．
(2)由(1)得AB的中点坐标为(1，－1,0)，
PC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(\r(5),2))).
这两个中点之间的距离为d＝eq \r(12＋22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2)＝eq \f(5,2).
11．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．直线
C．球面 D．线段
答案 C
解析 (x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面，故选C.
12．已知O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))
答案 C
解析 设eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(OP,\s\up6(→))，
则eq \(QA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OP,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－λeq \(OP,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝2(3λ2－8λ＋5)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－\f(1,3))).
当λ＝eq \f(4,3)时，eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值，
此时点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
13．已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15)))
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))＝3t－eq \f(52,5)，
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，
即3t－eq \f(52,5)<0，
所以t若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝－2λ，,3＝tλ，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq \f(6,5)，
故t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15))).
14．一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的距离是________．
答案 eq \r(57)
解析 P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，则光线所经过的路程为
P′Q＝eq \r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq \r(57).
15．已知向量a＝(2，－1,1)，b＝(1,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.eq \f(\r(35),2) B.eq \r(35)
C．4 D．8
答案 B
解析 ∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2＋1,\r(6)×\r(6))＝eq \f(1,6).
∴sin〈a，b〉＝eq \f(\r(35),6)，
故所求面积S＝|a||b|sin〈a，b〉＝eq \r(35).
16．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积．
解 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1)).
(1)∵eq \(BM,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，1))，
∴|eq \(BM,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋－12＋12)＝eq \r(3)，
|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋12)＝eq \f(\r(5),2).
故BM的长为eq \r(3)，BN的长为eq \f(\r(5),2).
(2)S△BMN＝eq \f(1,2)·BM·BN·sin∠MBN.
∵cs∠MBN＝cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))〉
＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(BN,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(BN,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,2),\r(3)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),5)，
∴sin∠MBN＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),5)))2)＝eq \f(\r(10),5)，
故S△BMN＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(5),2)×eq \f(\r(10),5)＝eq \f(\r(6),4).
即△BMN的面积为eq \f(\r(6),4).名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a·b
|a||b|cs〈a，b〉
x1x2＋y1y2＋z1z2
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|＝eq \r(a·a)
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))
夹角余弦
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))