高中数学6.3空间向量的应用学案

这是一份高中数学6.3空间向量的应用学案，共21页。学案主要包含了点到平面的距离，点到直线的距离，直线到平面的距离等内容，欢迎下载使用。

导语
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？
一、点到平面的距离
问题1 如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，θ＝〈eq \(AP,\s\up6(→))，n〉，如何利用这些条件求点P到平面α的距离？
提示 点P到平面α的距离d为|eq \(AP,\s\up6(→))|cs θ的绝对值，即d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
知识梳理
若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
例1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq \(GE,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，
eq \(GF,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(GE,\s\up6(→))＝0，,n·\(GF,\s\up6(→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋y＋z＝0，,－x－y＋2z＝0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝z，,y＝z.))
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
所以d＝eq \f(|\(AG,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
即点A到平面EFG的距离为eq \f(\r(3),3).
反思感悟 求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2)在三棱锥中用等体积法求解．
(3)向量法：d＝eq \f(|n·\(MA,\s\up6(→))|,|n|)(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)
跟踪训练1 如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
解 设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，
有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，
则eq \(AB1,\s\up6(→))＝(1,0，－h)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1，－h)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，
设平面AB1D1的法向量为
n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－hz＝0，,y－hz＝0，))
取z＝1，得n＝(h，h,1)，
所以点C到平面AB1D1的距离为
d＝eq \f(|n·\(AC,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(h＋h＋0,\r(h2＋h2＋1))＝eq \f(4,3)，解得h＝2.
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
二、点到直线的距离
问题2 如图，借助于向量，如何求点P到直线l的距离PO?
提示 思路一：如问题图(1)，若已知与直线l垂直的直线OP的方向向量n，可利用d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)求解．
思路二：如问题图(2)，若已知直线l的方向向量e，可利用|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→))，e〉求解．
知识梳理
若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→))，e〉．
例2 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
解 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，
所以直线A1C1的方向向量eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝(－4,3,0)，
eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0,3,1)，
所以cs〈eq \(BC1,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(9\r(10),50)，
sin〈eq \(BC1,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(13\r(10),50)，
所以点B到直线A1C1的距离d＝|eq \(BC1,\s\up6(→))|sin〈eq \(BC1,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(—→))〉
＝eq \r(10)×eq \f(13\r(10),50)＝eq \f(13,5).
延伸探究 例2中的条件不变，若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到直线MN的距离．
解 如例2解中建立空间直角坐标系(图略)．
则M(2,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，0))，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3，1))，
所以直线MN的方向向量为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)，－1))，
eq \(MC1,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，
所以cs〈eq \(MC1,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))〉＝eq \f(9,13)，sin〈eq \(MC1,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(22),13)，
所以点C1到MN的距离
d＝|eq \(MC1,\s\up6(→))|sin〈eq \(MC1,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))〉＝eq \r(13)×eq \f(2\r(22),13)＝eq \f(2\r(286),13).
反思感悟 用向量法求点到直线距离的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求所求点P与直线上某一点A所构成的向量|eq \(AP,\s\up6(→))|；
(3)若已知直线的方向向量e，则利用公式|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→))，e〉求解；若已知直线的法向量n，可利用d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)求解．
跟踪训练2 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
解 因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，
所以直线A′C的方向向量eq \(A′C,\s\up6(—→))＝(1,2，－3)，
又eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，
所以cs〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(A′C,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\r(14),7)，sin〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(A′C,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\r(35),7)，
所以点B到直线A′C的距离
d＝|eq \(BC,\s\up6(→))|sin〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(A′C,\s\up6(—→))〉＝2×eq \f(\r(35),7)＝eq \f(2\r(35),7).
三、直线(平面)到平面的距离
问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
提示 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
知识梳理
(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
例3 在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．
(1)证明 连接AB1交A1B于点E，连接DE.
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(DE∥B1C，,DE⊂平面A1BD，,B1C⊄平面A1BD，))⇒B1C∥平面A1BD.
(2)解 因为B1C∥平面A1BD，
所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．
如图，以D为坐标原点，DC，DB所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则B1(0,2eq \r(2)，3)，B(0,2eq \r(2)，0)，A1(－1,0,3)，
eq \(DB1,\s\up6(→))＝(0,2eq \r(2)，3)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(0,2eq \r(2)，0)，
eq \(DA1,\s\up6(→))＝(－1,0,3)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DB,\s\up6(→))＝0，,n·\(DA1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(2)y＝0，,－x＋3z＝0，))
所以n＝(3,0,1)．
所求距离为d＝eq \f(|n·\(DB1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(3\r(10),10).
反思感悟 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，利用公式求解．
跟踪训练3 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
解 如图所示，建立空间直角坐标系．
则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，
F(2,4,4)，N(4,2,4)，
从而eq \(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2,0,4)．
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))，∴EF∥MN，AM∥BF.
又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2z，,y＝－2z.))
取z＝1，得n＝(2，－2,1)为平面AMN的一个法向量．
设平面AMN与平面EFBD间的距离记为d，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，
∴d＝eq \f(|n·\(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(8,3).
1．知识清单：
(1)点到直线的距离．
(2)点到平面的距离．
(3)直线(平面)到平面的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．1 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 A
解析 ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,2，－2)，
cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝－eq \f(1,3)，sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(2),3)，
∴点A到直线BC的距离为
d＝|eq \(AB,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(2),3).
2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
则d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),3).
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，
所以eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，
eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，设平面A1C1D的一个法向量为
m＝(x，y,1) ，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(DA1,\s\up6(→))，,m⊥\(DC1,\s\up6(→))，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,y－1＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
故m＝(1,1,1)，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3) .
4．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，
A(1,0,0)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0.))
令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)．
∴点M到平面ACD1的距离d＝eq \f(|\(AM,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),2).
又eq \(MN,\s\up6(→))綊eq \f(1,2)eq \(AD1,\s\up6(→))，故MN∥平面ACD1.
故直线MN到平面ACD1的距离为eq \f(\r(3),2).
课时对点练
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则平面α外的点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3
C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
答案 D
解析 由题意可知eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)．
设点P到平面α的距离为h，
则h＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3).
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(3) D．3eq \r(2)
答案 B
解析 ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，
eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，
∴两平面间的距离d＝eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(|－2＋0＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
3．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(6),3) D．1
答案 C
解析 因为平面α⊥平面β，
且AC⊥l，BD⊥l，故AC⊥平面β，BD⊥平面α，依题意建立空间直角坐标系如图所示，
在Rt△ACD中，可得CD＝eq \r(2)，
故A(0,0,1)，B(1，eq \r(2)，0)，C(0,0,0)，D(0，eq \r(2)，0)，
则eq \(CA,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(2)，0)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，0)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\(CB,\s\up6(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\r(2)y，,z＝0，))
令y＝1，可得n＝(－eq \r(2)，1,0)，
故所求距离d＝eq \f(|\(CD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).
4.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B．8
C.eq \f(60,13) D.eq \f(13,3)
答案 C
解析 以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．
设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0)．
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
由n⊥eq \(BC,\s\up6(→))，n⊥eq \(CD1,\s\up6(→))，
得n·eq \(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·eq \(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，
所以a＝0，b＝eq \f(5,12)c，所以可取n＝(0,5,12)．
又eq \(B1B,\s\up6(→))＝(0,0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为eq \f(|\(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(60,13).
因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为eq \f(60,13).
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)
∴eq \(D1E,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋2b＝0，,－a＋c＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2b，,a＝c，))可取n＝(2,1,2)，
∴点E到平面ACD1的距离为
d＝eq \f(|\(D1E,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2＋1－2,3)＝eq \f(1,3).
6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 以{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))}为正交基底建立空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，
eq \(C1O,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，
平面ABC1D1的一个法向量为eq \(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d＝eq \f(|\(DA1,\s\up6(→))·\(C1O,\s\up6(→))|,|\(DA1,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
7．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，
所以点P到l的距离为eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie na)，如图．已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________．
答案 eq \r(2)
解析 以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，
如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，
C(0,2,0)，由M为PC的中点可得M(1,1,1)．
eq \(BM,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq \(BA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，
eq \(BP,\s\up6(→))＝(2,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\(BM,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝0，,x＋y＋z＝0，))
令z＝－1，可得n＝(0,1，－1)，点P到平面MAB的距离为d＝eq \f(|n·\(BP,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \r(2).
9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，
M(2,0,1)，C1(0,2,2)，
直线AC1的一个单位方向向量为s0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AM,\s\up6(→))＝(2,0,1)，
故点M到直线AC1的距离
d＝|eq \(AM,\s\up6(→))|sin〈eq \(AM,\s\up6(→))，s0〉＝eq \f(3\r(2),2).
(2)设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(—→))＝0，,n·\(A1M,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝0，,2x－z＝0，))
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，
故N到平面MA1C1的距离d＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).
10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解 (1)建立以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DP,\s\up6(→))分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0), C(0,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\(PE,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0，,x＋\f(1,2)y－z＝0.))
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)，
所以点D到平面PEF的距离
d＝eq \f(|\(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq \f(3\r(17),17)，
因此点D到平面PEF的距离为eq \f(3\r(17),17).
(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.
又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，
所以AC∥平面PEF.
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，
所以点A到平面PEF的距离
d＝eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(17))＝eq \f(\r(17),17).
所以直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17).
11.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P到AB的距离为( )
\
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,5)
答案 C
解析 如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，
所以cs〈eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(9\r(181),181)，
sin〈eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(10\r(181),181)，
所以点P到AB的距离
d＝|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(181),12)×eq \f(10\r(181),181)＝eq \f(5,6).
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为( )
A.eq \r(3)λ B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),3)λ D.eq \f(\r(5),5)
答案 D
解析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，
eq \(ED1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq \(EM,\s\up6(→))＝(0，λ，1)．
设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED1,\s\up6(→))＝－2x＋z＝0，,n·\(EF,\s\up6(→))＝2y＝0，))
取x＝1，得n＝(1,0,2)，
所以点M到平面D1EF的距离为
d＝eq \f(|\(EM,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
因为N为ME的中点，所以N到平面D1EF的距离为eq \f(\r(5),5).
13．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝eq \f(1,3)DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________．
答案 eq \f(4\r(37),37)
解析 以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,3)))，D1(0,0,1)，
A1(1,0,1)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，－\f(1,6)))， eq \(D1A1,\s\up6(—→))＝(1,0,0)，
∴eq \(D1A1,\s\up6(—→))∥eq \(EF,\s\up6(→)).
又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离，
即为点D1到平面EFGH的距离．
设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\(FG,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＝0，,y＋\f(1,6)z＝0，))
令z＝6，则y＝－1，
∴n＝(0，－1,6)，
又∵eq \(D1F,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(1,2)))，
∴点D1到平面EFGH的距离
d＝eq \f(|\(D1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(4\r(37),37)，
∴A1D1到平面EFGH的距离为eq \f(4\r(37),37).
14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
答案 eq \f(\r(21),7)
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
则eq \(C1A,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，
eq \(C1B1,\s\up6(—→))＝(0,1,0)，eq \(C1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为
n＝(x，y,1)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(C1A,\s\up6(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,\(C1B,\s\up6(→))·n＝y－1＝0，))
解得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1，1))，
则所求距离为eq \f(|\(C1B1,\s\up6(—→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq \f(\r(21),7).
15．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当二面角P－EC－D的大小为eq \f(π,4)时，AE＝______，此时，点D到平面PEC的距离为______．
答案 2－eq \r(3) eq \f(\r(2),2)
解析 设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DP,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D－xyz(图略)，
则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
则eq \(PE,\s\up6(→))＝(1，a，－1)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，
设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(PE,\s\up6(→))，,m⊥\(PC,\s\up6(→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋ay－z＝0，,2y－z＝0，))
令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a,1,2)，
易知平面DEC的一个法向量为eq \(DP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，
则|cs〈m，eq \(DP,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(2－a2＋5))))＝eq \f(\r(2),2)，
解得a＝2－eq \r(3)或a＝2＋eq \r(3)(舍去)，所以AE＝2－eq \r(3).
这时，平面PEC的法向量可以取m＝(eq \r(3)，1,2)，
又∵eq \(DP,\s\up6(→))＝(0,0,1)．
∴点D到平面PEC的距离为d＝eq \f(|\(DP,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq \f(2,2\r(2)×1)＝eq \f(\r(2),2).
16.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为eq \f(2\r(6),3).
解 假设存在点E满足题意．以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，
eq \(BA1,\s\up6(→))＝(2，－2,2)．
设eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA1,\s\up6(→))，λ∈(0,1)，
则E(2λ，2(1－λ)，2λ)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，
eq \(AE,\s\up6(→))＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AD,\s\up6(→))＝0，,n·\(AE,\s\up6(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋z＝0，,2λ－1x＋21－λy＋2λz＝0，))
取x＝1，则y＝eq \f(1－3λ,1－λ)，z＝2，
即n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1－3λ,1－λ)，2))为平面AED的一个法向量．
由于点A1到平面AED的距离d＝eq \f(|\(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2\r(6),3)，
所以eq \f(2\r(6),3)＝eq \f(4,\r(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－3λ,1－λ)))2))，
又λ∈(0,1)，所以λ＝eq \f(1,2).
故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为eq \f(2\r(6),3).