高中8.2离散型随机变量及其分布列第1课时学案

这是一份高中8.2离散型随机变量及其分布列第1课时学案，共12页。学案主要包含了n重伯努利试验，二项分布的推导，二项分布的简单应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布的概率表达形式.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
导语
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为eq \f(1,2)，20×eq \f(1,2)不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上．那么这个学生的运气如何呢？
一、n重伯努利试验
问题1 观察下面试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次．
提示 ①相同条件下的试验：5次、10次、6次；
②每次试验相互独立；
③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1－p.
知识梳理
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．
例1 判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．
反思感悟 n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．
跟踪训练1 (多选)下列事件不是n重伯努利试验的是( )
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
答案 ABC
解析 A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．
二、二项分布的推导
问题2 (1)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
提示 连续掷一枚图钉3次，就是做3重伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)∪(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3)∪(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
(2)类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
提示 用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”，
P(B0)＝P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)＝q3＝Ceq \\al(0,3)p0q3，
P(B1)＝P(A1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3)
＝3q2p＝Ceq \\al(1,3)p1q2，
P(B2)＝P(A1A2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1A2A3)＋P(A1eq \x\t(A)2A3)＝3qp2＝Ceq \\al(2,3)p2q1，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Ceq \\al(3,3)p3q0，
规律：P(Bk)＝Ceq \\al(k,3)pkq3－k，k＝0,1,2,3.
知识梳理
二项分布
(1)若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
(2)当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，σ＝eq \r(np1－p).
注意点：
(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.
(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(eq \x\t(A)1)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(19,27).
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝Ceq \\al(2,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9)，P(B2)＝Ceq \\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(3,8)，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝eq \f(4,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(1,6).
延伸探究
1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
解 记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，P(B3)＝eq \f(3,8)，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为
P(A3B3)＝eq \f(4,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(1,6).
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．
解 记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝Ceq \\al(0,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(1,9)，P(B4)＝Ceq \\al(2,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＝eq \f(9,16)，所以甲未击中，乙击中2次的概率为P(A4B4)＝eq \f(1,9)×eq \f(9,16)＝eq \f(1,16).
反思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练2 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率．
解 (1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为eq \f(1,3)，参加乙游戏的概率为eq \f(2,3).
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
则P(Ak)＝Ceq \\al(k,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4－k.
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
P(A2)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(8,27).
(2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4.
由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \f(2,3)＋Ceq \\al(4,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,9)，
所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为eq \f(1,9).
三、二项分布的简单应用
例3 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为eq \f(1,3)，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布．
解 (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
则P(X＝3)＝Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(40,243)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4×eq \f(2,3)＝eq \f(10,243)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(5,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0＝eq \f(1,243)，
所以至少有3次发芽成功的概率为
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝eq \f(40,243)＋eq \f(10,243)＋eq \f(1,243)＝eq \f(17,81).
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝eq \f(1,3)，
P(ξ＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)，
P(ξ＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27)，
P(ξ＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \f(1,3)＝eq \f(8,81)，
P(ξ＝5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4×1＝eq \f(16,81).
所以ξ的概率分布为
反思感悟 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq \f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布．
解 由题意可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,4)))，
∴P(X＝k)＝Ceq \\al(k,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))k×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3＝eq \f(1,64)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(9,64)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(27,64)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＝eq \f(27,64).
∴X的概率分布为
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．若随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，则P(X＝2)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3
C．Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3 D．Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3
答案 D
解析 ∵随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，
∴P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3.
2．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)等于( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(13,14) C.eq \f(4,5) D.eq \f(7,8)
答案 D
解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).从中取3次，X为取得次品的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，
P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)
＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(7,8).
3．在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为eq \f(65,81)，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 事件A在一次试验中发生的概率为p，
由题意得1－Ceq \\al(0,4)p0(1－p)4＝eq \f(65,81)，
所以1－p＝eq \f(2,3)，p＝eq \f(1,3).
4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
答案 0.048 6
解析 P＝Ceq \\al(2,4)×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
课时对点练
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是eq \f(1,2)，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(5,8) D.eq \f(1,32)
答案 A
解析 P＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(5,16).
2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．Ceq \\al(8,10)×0.88×0.22 B．Ceq \\al(8,10)×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
答案 A
解析 P(X＝8)＝Ceq \\al(8,10)×0.88×0.22.
3．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为eq \f(2,3)，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为( )
A.eq \f(20,27) B.eq \f(8,9)
C.eq \f(8,27) D.eq \f(13,18)
答案 A
解析 该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，
有三天出现大潮概率为Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
所以至少有两天出现大潮的概率为eq \f(4,9)＋eq \f(8,27)＝eq \f(20,27).
4．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0