高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册第8章 概率本章综合与测试导学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册第8章 概率本章综合与测试导学案及答案，共16页。学案主要包含了二项分布及应用，超几何分布及应用，正态分布与二项分布的综合应用等内容，欢迎下载使用。

一、二项分布及应用
例1 甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：
①先将一个圆8等分(如图)，再将8个等分点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球，然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O构造三角形．若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加．
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．
(1)求甲能参加音乐社团的概率；
(2)记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X，求X的概率分布、均值和方差．
解 (1)从盒中随机摸出两个小球，即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有Ceq \\al(2,8)＝28(种)，其中与圆心O构成直角三角形的取法有8种：A1A3O，A2A4O，A3A5O，A4A6O，A5A7O，A6A8O，A7A1O，A8A2O，与圆心O构成钝角三角形的取法有8种：A1A4O，A2A5O，A3A6O，A4A7O，A5A8O，A6A1O，A7A2O，A8A3O.
所以甲能参加音乐社团的概率为P＝eq \f(8＋8,28)＝eq \f(4,7).
(2)由题意可知，
X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(4,7)))，X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)))3＝eq \f(27,343)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)))2＝eq \f(108,343)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)))1＝eq \f(144,343)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)))0＝eq \f(64,343)，
所以X的概率分布为
均值E(X)＝np＝3×eq \f(4,7)＝eq \f(12,7)，
方差D(X)＝np(1－p)＝3×eq \f(4,7)×eq \f(3,7)＝eq \f(36,49).
反思感悟 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的且各事件是相互独立的．
(2)每次试验只有两种结果：发生或不发生．
(3)随机变量是这n重伯努利试验中某事件发生的次数．
跟踪训练1 某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的概率分布及均值．
解 (1)由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
eq \f(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋50×4,40)＝28.5(g)，
所以购进生蚝500 kg，
这批生蚝的数量为eq \f(500×103,28.5)≈17544(只)．
(2)由表格中的数据可知，任意挑选一只，
质量在[5,25)的概率为eq \f(6＋10,40)＝eq \f(2,5)，
由题意可知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,5)))，
随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))4＝eq \f(81,625)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)×eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(216,625)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(216,625)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3×eq \f(3,5)＝eq \f(96,625)，
P(X＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))4＝eq \f(16,625).
所以随机变量X的概率分布为
因此随机变量X的均值为E(X)＝4×eq \f(2,5)＝eq \f(8,5).
二、超几何分布及应用
例2 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸球，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元．
(1)记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的均值；
(2)若你是1名要抽奖的顾客，你会选择哪种方案进行抽奖？并说明理由．
解 (1)方法一 易知X服从超几何分布，且N＝5，M＝2，n＝2，
故E(X)＝eq \f(2×2,5)＝0.8.
方法二 X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝eq \f(3,10)，
∴E(X)＝2×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋0×eq \f(3,10)＝0.8.
(2)记Y为1名顾客选择方案一进行抽奖获得的奖金数额，则Y可取50,20,15.
P(Y＝50)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(Y＝20)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5)，
P(Y＝15)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝eq \f(3,10)，
∴E(Y)＝50×eq \f(1,10)＋20×eq \f(3,5)＋15×eq \f(3,10)＝21.5.
记Z为1名顾客选择方案二进行抽奖获得的奖金数额，
则Z可取50,30,20,10.
P(Z＝50)＝eq \f(A\\al(2,2),A\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(Z＝30)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)A\\al(2,2),A\\al(3,5))＝eq \f(1,5)，
P(Z＝20)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3)A\\al(3,3),A\\al(4,5))＝eq \f(3,10)，
P(Z＝10)＝eq \f(C\\al(1,2)A\\al(4,4),A\\al(5,5))＝eq \f(2,5).
∴E(Z)＝50×eq \f(1,10)＋30×eq \f(1,5)＋20×eq \f(3,10)＋10×eq \f(2,5)＝21.
E(Y)>E(Z)，
∴我会选择方案一进行抽奖．
反思感悟 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
跟踪训练2 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，如表所示：
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的概率分布．
解 (1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(3,6),C\\al(4,10))＝eq \f(8,21)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,6),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,6),C\\al(4,10))＝eq \f(4,35)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,4)C\\al(0,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,210)，
故X的概率分布为
所以E(X)＝0×eq \f(1,14)＋1×eq \f(8,21)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(4,35)＋4×eq \f(1,210)
＝eq \f(8,5).
三、正态分布与二项分布的综合应用
例3 九所学校参加联考，参加人数约5 000，经计算得数学平均分为113分．已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.
(1)计算联考成绩在137分以上的人数．(结果保留整数)
(2)从所有试卷中任意抽取1份，已知成绩不超过123分的概率为0.8.
①求成绩低于103分的概率．
②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同，X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出X的概率分布，并求出均值E(X)．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解 (1)设本次联考成绩为ξ，
由题意知ξ～N(μ，σ2)，其中σ＝12，μ＝113.
因为137＝μ＋2σ，
所以P(ξ>μ＋2σ)≈eq \f(1,2)×(1－0.954)＝0.023，
故所求人数为0.023×5 000＝115.
(2)①P(ξ<103)＝P(ξ>123)＝1－0.8＝0.2.
②由题意可知X～B(5,0.2)，
故P(X＝0)＝0.85＝0.327 68，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,5)×0.21×0.84＝0.409 6，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)×0.22×0.83＝0.204 8，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,5)×0.23×0.82＝0.051 2，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,5)×0.24×0.81＝0.006 4，
P(X＝5)＝0.25＝0.000 32.
所以X的概率分布为
E(X)＝5×0.2＝1.
反思感悟 (1)利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率，再乘以总人数，可得结果．
(2)利用正态分布的对称性求概率．
跟踪训练3 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq \x\t(x)(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45,50.4)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的概率分布和均值及方差．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝eq \r(142.75)≈11.95；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解 (1)根据频率分布直方图可得各组的频率为
(0,10]的频率为0.010×10＝0.1，
(10,20]的频率为0.020×10＝0.2，
(20,30]的频率为0.030×10＝0.3，
(30,40]的频率为0.025×10＝0.25，
(40,50]的频率为0.015×10＝0.15，
所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq \x\t(x)为
eq \x\t(x)＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
P(38.45＝eq \f(1,2)[P(26.5－2×11.95P(26.5－11.95＝(0.954－0.683)÷2＝0.135 5，
∴Z落在(38.45,50.4)内的概率是0.135 5.
②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为0.2＋0.3＝0.5，
∴X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，
X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(3,8)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16)，
∴X的概率分布为
∴E(X)＝4×eq \f(1,2)＝2，D(X)＝4×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.
1.知识清单：二项分布、超几何分布、正态分布.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：注意区分超几何分布和二项分布.
1．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
答案 B
解析 用电单位的个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
2．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )
A.eq \f(13,16) B.eq \f(27,64) C.eq \f(25,32) D.eq \f(27,32)
答案 D
解析 由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为eq \f(150,200)＝eq \f(3,4)，则所求概率为Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＝eq \f(27,32).
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于( )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7
答案 B
解析 ∵P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，
∴μ＝eq \f(2＋6,2)＝4.
又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ＜2)－P(ξ＞6)＝0.7，
∴P(2≤ξ＜4)＝eq \f(P2≤ξ≤6,2)＝0.35.
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X＝4)＝________.(用数字表示)
答案 eq \f(140,429)
解析 由题意得P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,7)×C\\al(6,8),C\\al(10,15))＝eq \f(140,429).
课时对点练
1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于( )
A．0.665 B．0.008 56
C．0.918 54 D．0.991 44
答案 D
解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝Ceq \\al(0,5)×0.10×0.95＋Ceq \\al(1,5)×0.1×0.94＋Ceq \\al(2,5)×0.12×0.93
＝0.991 44.
2．已知随机变量X的概率分布为
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 ∵E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,3)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,3)
＝eq \f(2,3)，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝eq \f(8,3).
3．某电子管正品率为eq \f(3,4)，次品率为eq \f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )
A．Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2×eq \f(3,4) B．Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2×eq \f(3,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4)
答案 C
解析 P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2×eq \f(3,4).
4．有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于( )
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
答案 B
解析 由题意可知X服从超几何分布，
∴E(X)＝eq \f(4×5,8)＝2.5.
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X)
B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4
D．D(X)＝eq \f(4,9)
答案 AB
解析 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，
∴P(X＝1)＝eq \f(2,3)，
E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
对于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
对于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq \f(2,3)＋2＝4，
故B正确；
对于C，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq \f(2,9)＝2，故C错误；
对于D，D(X)＝eq \f(2,9)，故D错误．
6．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C.eq \f(2,π) D.eq \r(\f(2,π))
答案 C
解析 由正态分布密度曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))，
知eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq \f(2,π).
7．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,300)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))300－k，k＝0,1,2，…，300，则E(X)＝________.
答案 100
解析 由P(X＝k)＝Ceq \\al(k,300)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))300－k，
可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，\f(1,3)))，
∴E(X)＝300×eq \f(1,3)＝100.
8．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为______．
答案 eq \f(47,245)
解析 设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,5)C\\al(2－k,45),C\\al(2,50))，k＝0,1,2.
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,45),C\\al(2,50))＋eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,50))＝eq \f(47,245).
9．已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为eq \f(1,3)，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
解 (1)由题意，得随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
所以P(X＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))1＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27).
所以X的概率分布为
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝Ceq \\al(3,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3×eq \f(1,3)＝eq \f(160,2 187).
10．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解 取出4只球颜色及得分情况是
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(3,3),C\\al(4,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝6)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,3),C\\al(4,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝7)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝8)＝eq \f(C\\al(4,4)C\\al(0,3),C\\al(4,7))＝eq \f(1,35)，
故X的概率分布为
∴E(X)＝5×eq \f(4,35)＋6×eq \f(18,35)＋7×eq \f(12,35)＋8×eq \f(1,35)＝eq \f(44,7).
11．设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0<ξ≤1)等于( )
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σA．0.158 7 B．0.135 5
C．0.271 8 D．0.341 3
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，
∴二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，
∴Δ＝4－4(－ξ)<0，∴ξ<－1，
又∵f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，
∴P(ξ<－1)＝0.5，
由正态曲线的对称性知μ＝－1，
∴ξ～N(－1,1)，∴μ＝－1，σ＝1，
∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1，
∴P(－2<ξ<0)＝0.683，P(－3<ξ<1)＝0.954，
∴P(0<ξ≤1)＝eq \f(1,2)[P(－3<ξ<1)－P(－2<ξ<0)]
＝eq \f(1,2)(0.954－0.683)＝0.135 5.
12．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，其中有n个号码为中奖号码，若从中任意取出4个号码球，其中恰有1个中奖号码的概率为eq \f(8,21)，则这10个小球中，中奖号码球的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由题意，可得eq \f(C\\al(1,n)C\\al(3,10－n),C\\al(4,10))＝eq \f(8,21)，
∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，将选项中的值代入检验，知选C.
13．“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.eq \f(1,27) B.eq \f(2,27)
C.eq \f(2,81) D.eq \f(8,81)
答案 B
解析 根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为eq \f(1,3)，
∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，
∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,27).
14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为eq \f(1,2)，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为______．
答案 eq \f(43,120)
解析 依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A1；女生得2分男生得4分，设为事件A2；女生得4分男生得2分，设为事件A3，
则P(A1)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,6))×Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,120)，
P(A2)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,4),C\\al(2,6))×Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(24,120)＝eq \f(1,5)，
P(A3)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,6))×Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(18,120)＝eq \f(3,20)，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(43,120).
15．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq \f(7,16)，则P(Y＝2)＝________.
答案 eq \f(9,64)
解析 因为随机变量X～B(2，p)，且P(X≥1)＝eq \f(7,16)，
所以P(X≥1)＝Ceq \\al(1,2)p(1－p)＋Ceq \\al(2,2)p2＝eq \f(7,16)，
解得p＝eq \f(1,4)或p＝eq \f(7,4)(舍去)．
所以随机变量Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))，
所以P(Y＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(9,64).
16．某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩超过90分的人数；
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题答对的概率为eq \f(2,3)，多选题答对的概率为eq \f(1,2)，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的概率分布及均值．
附：P(μ－σ解 (1)∵学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，
其中μ＝66，σ2＝144，
∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90，
∴P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)
≈eq \f(1,2)×(1－0.954)＝0.023，
∴估计初试成绩超过90分的人数为0.023×5 000＝115.
(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，
则P(Y＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)，
P(Y＝2)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)，
P(Y＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,18)，
P(Y＝4)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)，
P(Y＝5)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)，
P(Y＝7)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,9)，
∴Y的概率分布为
E(Y)＝0×eq \f(1,18)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,18)＋4×eq \f(2,9)＋5×eq \f(2,9)＋7×eq \f(2,9)＝eq \f(25,6).X
0
1
2
3
P
eq \f(27,343)
eq \f(108,343)
eq \f(144,343)
eq \f(64,343)
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量(只)
6
10
12
8
4
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(81,625)
eq \f(216,625)
eq \f(216,625)
eq \f(96,625)
eq \f(16,625)
用户
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用
电量
(度)
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(8,21)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)
X
0
1
2
3
4
5
P
0.327 68
0.409 6
0.204 8
0.051 2
0.006 4
0.000 32
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
eq \f(3,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,16)
使用时
间/天
10～20
21～30
31～40
41～50
51～60
个数
10
40
80
50
20
X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)
X
5
6
7
8
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
Y
0
2
3
4
5
7
P
eq \f(1,18)
eq \f(2,9)
eq \f(1,18)
eq \f(2,9)
eq \f(2,9)
eq \f(2,9)