苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案，共7页。

已知f(x)＝x，g(x)＝eq \f(1,x).Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)．
[问题] (1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？
(2)试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．



知识点 函数的和、差、积、商的求导法则
1．条件：f(x)，g(x)是可导的．
2．结论：(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；
(2)(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))eq \s\up12(′)＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)(g(x)≠0)．
eq \a\vs4\al()
应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)；
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即：①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)；
②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)·v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
1．函数y＝sin x·cs x的导数是( )
A．y′＝cs 2x＋sin 2x B．y′＝cs 2x
C．y′＝2cs x·sin x D．y′＝cs x·sin x
答案：B
2．函数y＝xcs x－sin x的导数为________．
答案：－xsin x
3．函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在x＝1处的导数是________．
解析：因为f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝x′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝1－eq \f(1,x2)，
所以f′(1)＝1－1＝0.
答案：0
[例1] (链接教科书第190页例2，例3)求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋lg3x；(2)f(x)＝x3·ex；
(3)f(x)＝eq \f(cs x,x).
[解] (1)f′(x)＝(x2＋lg3x)′＝(x2)′＋(lg3x)′
＝2x＋eq \f(1,xln 3).
(2)f′(x)＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(（cs x）′·x－cs x·（x）′,x2)
＝eq \f(－x·sin x－cs x,x2)＝－eq \f(xsin x＋cs x,x2).
eq \a\vs4\al()
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式；
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等；
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝sin x－2x2；(2)f(x)＝cs x·ln x；
(3)f(x)＝eq \f(ex,sin x).
解：(1)f′(x)＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cs x－4x.
(2)f′(x)＝(cs x·ln x)′＝(cs x)′·ln x＋cs x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋eq \f(cs x,x).
(3)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex,sin x)))′＝eq \f(（ex）′·sin x－ex·（sin x）′,sin2x)
＝eq \f(ex·sin x－ex·cs x,sin2x)＝eq \f(ex（sin x－cs x）,sin2x).
[例2] 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．
[解] ∵y′＝2x＋1，∴直线l1在点(1，0)处的斜率为2×1＋1＝3，
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，
则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－eq \f(1,3)，即b＝－eq \f(2,3)，
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(20,9)))，
故直线l2的方程为y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(22,9).
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)，))
∴直线l1和l2的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，－\f(5,2))).
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22,3)，0))，
故所求三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22,3)))))×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝eq \f(125,12).
eq \a\vs4\al()
导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．解决此类问题的方法为先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
[跟踪训练]
1．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9都相切，则a的值为( )
A．－1或－eq \f(25,64) B．－1或eq \f(21,4)
C．－eq \f(7,4)或－eq \f(25,64) D．－eq \f(7,4)或7
解析：选A 设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，xeq \\al(3,0))，
则切线方程为y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，
即y＝3xeq \\al(2,0)x－2xeq \\al(3,0).
又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝eq \f(3,2).
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切可得a＝－eq \f(25,64).
当x0＝eq \f(3,2)时，直线方程为y＝eq \f(27,4)x－eq \f(27,4).
由y＝eq \f(27,4)x－eq \f(27,4)与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切可得a＝－1.
2．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，
得f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)存在零点，
即f′(x)＝0，所以2ax＋eq \f(1,x)＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a0，,（a＋1）（a－1）＝0，))解得a＝－1.故f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq \f(1,3).
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2. 已知物体的运动方程为s(t)＝t2＋eq \f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A.eq \f(19,4) B.eq \f(17,4)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)
解析：选D ∵s′(t)＝2t－eq \f(3,t2)，∴s′(2)＝4－eq \f(3,4)＝eq \f(13,4).
3．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x－2)(x2＋2x＋4)；
(2)f(x)＝eq \f(ln x,cs x)－2x.
解：(1)法一：f′(x)＝(x－2)′(x2＋2x＋4)＋(x－2)(x2＋2x＋4)′＝x2＋2x＋4＋(x－2)(2x＋2)＝3x2.
法二：∵f(x)＝(x－2)(x2＋2x＋4)＝x3－8.
∴f′(x)＝3x2.
(2)f′(x)＝eq \f(（ln x）′·cs x－ln x·（cs x）′,cs2x)－2x·ln 2
＝eq \f(\f(1,x)cs x＋sin x·ln x,cs2x)－2x·ln 2
＝eq \f(1,xcs x)＋eq \f(sin x,cs2x)ln x－2xln 2.
新课程标准解读
核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数
数学运算
利用函数的和、差、积、商的求导法则求导
与切线有关的综合问题
利用函数的导数求参数