高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算学案及答案，共7页。

已知函数：
①y＝f(x)＝c；②y＝f(x)＝x；③y＝f(x)＝x2；
④y＝f(x)＝eq \f(1,x)；⑤y＝f(x)＝eq \r(x).
[问题] (1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？
(3)函数②③⑤均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数有何规律？



知识点一 几个常用函数的导数
常用函数的求导公式
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)；
(7)(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x)) .
1．常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数f(x)＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．
2．若f(x)是偶函数，则f′(x)是奇函数还是偶函数？
提示：奇函数．
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．若f(x)＝0，则f′(x)＝0
B．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5
C．若f(x)＝x－1，则f′(x)＝－x－2
D．若f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，则f′(x)＝eq \f(1,2)xeq \s\up6(\f(1,2))
答案：ABC
2．若f(x)＝cseq \f(2π,3)，则f′(x)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C．0 D.eq \f(1,2)
答案：C
知识点二 基本初等函数的导数
基本初等函数的求导公式
(8)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(9)(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；
(10)(ex)′＝ex；
(11)(lga x)′＝eq \f(1,x)lga e＝eq \f(1,xln a)(a>0，且a≠1)；
(12)(ln x)′＝eq \f(1,x)；
(13)(sin x)′＝cs_x；
(14)(cs x)′＝－sin_x．
eq \a\vs4\al()
应用求导公式时应注意的问题
(1)对于公式(sin x)′＝cs x，(cs x)′＝－sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化；
(2)对于公式(ln x)′＝eq \f(1,x)和(ex)′＝ex很好记，但对于公式(lgax)′＝eq \f(1,xln a)和(ax)′＝axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所在的位置．
1．下列说法正确的个数为( )
①若f(x)＝eq \r(2)，则f′(x)＝eq \f(1,2)×2＝1；
②若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cs x；
③f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4).
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B 只有③正确．
2．曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝________．
解析：因为y′＝αxα－1，所以α2α－1＝12，解得α＝3.
答案：3
[例1] (链接教科书第188页练习2题)求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x12；(2)f(x)＝eq \f(1,x4)；(3)f(x)＝eq \r(5,x3)；
(4)f(x)＝3x；(5)f(x)＝lg5x.
[解] (1)f′(x)＝(x12)′＝12x11.
(2)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5).
(3)f′(x)＝(eq \r(5,x3))′＝(xeq \s\up6(\f(3,5)))′＝eq \f(3,5)x－eq \f(2,5).
(4)f′(x)＝(3x)′＝3xln 3.
(5)f′(x)＝(lg5x)′＝eq \f(1,xln 5).
eq \a\vs4\al()
求简单函数的导函数的两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)；(2)f(x)＝xeq \r(x)；(3)f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,3))x.
解：(1)f′(x)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)ln eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)ln 2.
(2)f′(x)＝(xeq \r(x))′＝(xeq \s\up6(\f(3,2)))′＝eq \f(3,2)xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(3,2)eq \r(x).
(3)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\s\d9(\f(1,3))x))′＝eq \f(1,xln\f(1,3))＝－eq \f(1,xln 3).
角度一：求切线的方程
[例2] (链接教科书第188页练习3题)函数f(x)＝eq \f(1,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))处的切线方程是( )
A．y＝4x B．y＝－4x＋4
C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4
[解析] ∵f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－x－2，
∴k＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)＝－4，
∴切线方程为y－2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即y＝－4x＋4.
[答案] B
角度二：求参数值
[例3] (链接教科书第188页练习4题)已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y′＝eq \f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＝1，而且y0＝ln x0＝1，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝eq \f(1,e).
[答案] eq \f(1,e)
角度三：曲线上的点到直线的最小距离问题
[例4] 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解] 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小．
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)．
因为y′＝ex，所以eeq \a\vs4\al(x0)＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1)．
所以点P到直线y＝x的最小距离为eq \f(|0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al()
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[跟踪训练]
(1)求曲线f(x)＝eq \r(x)在点B(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线g(x)＝ln x的斜率等于4的切线方程．
解：(1)设所求切线的斜率为k.
∵f′(x)＝(eq \r(x))′＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)，k＝f′(1)＝eq \f(1,2)，
∴曲线f(x)＝eq \r(x)在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)．
∵g′(x)＝eq \f(1,x)，曲线g(x)＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，
∴g′(x0)＝eq \f(1,x0)＝4，得x0＝eq \f(1,4)，∴y0＝－ln 4，
∴切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－ln 4))，
∴所求切线方程为y＋ln 4＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))，
即4x－y－1－ln 4＝0.
[例5] (1)质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝eq \f(π,3)时的速度为________，质点运动的加速度为________．
(2)从时刻t＝0开始的t(单位：秒)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cs t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
(1)[解析] v(t)＝S′(t)＝cs t，
∴veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
即质点在t＝eq \f(π,3)时的速度为eq \f(1,2).
∵v(t)＝cs t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cs t)′＝－sin t.
[答案] eq \f(1,2) －sin t
(2)[解] 由q＝cs t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
eq \a\vs4\al()
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在；
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．
[跟踪训练]
曲线y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(8,9)
C.eq \f(25,12) D.eq \f(4,12)
解析：选C 可求得y′＝eq \f(2,3)x－eq \f(1,3)，即曲线y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在点(1，1)处的切线斜率为eq \f(2,3)，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，与x＝2的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))，围成三角形面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))×eq \f(5,3)＝eq \f(25,12).
1．设函数f(x)＝cs x，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))))′＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．以上均不正确
解析：选A 注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故选A.
2．下列各式中正确的是( )
A．(lgax)′＝eq \f(1,x) B．(lgax)′＝eq \f(ln 10,x)
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3
解析：选D 由(lgax)′＝eq \f(1,xln a)，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．
3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，
即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,3).
答案：1或－eq \f(1,3)
4．设函数f(x)＝lgax，f′(1)＝－1，则a＝________．
解析：∵f′(x)＝eq \f(1,x ln a)，
∴f′(1)＝eq \f(1,ln a)＝－1.
∴ln a＝－1，即a＝eq \f(1,e).
答案：eq \f(1,e)
5．求与曲线y＝eq \r(3,x2)在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．
解：因为y＝eq \r(3,x2)，所以y′＝(eq \r(3,x2))′＝(xeq \s\up6(\f(2,3)))′＝eq \f(2,3)xeq \s\up6(－eq \f(1,3))).
即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为eq \f(1,3).所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.
新课程标准解读
核心素养
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数
数学运算
2.会使用导数公式表
数学运算
利用导数公式求函数导数
利用导数公式解决切线问题
导数的综合应用