高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案

这是一份高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案，共15页。学案主要包含了空间向量的概念，空间向量及其线性运算，共线向量等内容，欢迎下载使用。
6.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题．
导语
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的概念
知识梳理
1．定义：在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
2．几何表示法：空间向量用有向线段表示．
3．几类特殊的空间向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))
D．相同的向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(—→))
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))的方向相同，模也相等，故eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(—→))；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量．
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；
(2)试写出eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq \(AC1,\s\up6(→))的模．
解 (1)与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \(A1B1,\s\up6(—→))，eq \(DC,\s\up6(→))及eq \(D1C1,\s\up6(—→))，共3个．
(2)向量eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq \(A1A,\s\up6(→))，eq \(B1B,\s\up6(→))，eq \(C1C,\s\up6(→))，eq \(D1D,\s\up6(→)).
(3)|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(AC2＋CC\\al(2,1))＝eq \r(AB2＋BC2＋CC\\al(2,1))＝3.
二、空间向量及其线性运算
问题1 联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？
提示 易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如：加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ