高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线当堂达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线当堂达标检测题，共6页。

1．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：选D 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，0))，将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得eq \f(m,2)＝2，所以m＝4.故选D.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
解析：选C 由题知抛物线的焦点为F(1，0)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1，0)．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13) B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17) D．2eq \r(19)
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2)) 得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.
∴|AB|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝eq \r(（1＋4）×（16－4）)＝eq \r(5×12)＝2eq \r(15).
5.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若点F是线段AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3)
解析：选C 如图，设A，B在准线上的射影分别为M，N，准线与x轴交于点H，则|FH|＝p.
∵点F是线段AC的中点，|AF|＝4，
∴|AM|＝4＝2p，∴p＝2.
设|BF|＝|BN|＝x，则eq \f(|BN|,|FH|)＝eq \f(|BC|,|CF|)，即eq \f(x,2)＝eq \f(4－x,4)，解得x＝eq \f(4,3).
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3)，故选C.
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，eq \f(x1＋x2,2)＝3，
∴eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(x1＋x2－2,2)＝eq \f(6－2,2)＝2.
∴所求点的坐标为(3，2)．
答案：(3，2)
7.如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是26 cm，灯深11 cm，则灯泡与反射镜的顶点的距离为________ cm(精确到0.1 cm)．
解析：以反射镜的顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系(图略)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由题意抛物线经过点(11，13)，代入抛物线方程得132＝2p×11，解得p＝eq \f(169,22).所以eq \f(p,2)＝eq \f(169,44)≈3.8，即灯泡与反射镜的顶点的距离约为3.8 cm.
答案：3.8
8．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq \f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq \f(1,8)，所以y0＋eq \f(1,8)＝2，解得y0＝eq \f(15,8).
答案：eq \f(15,8)
9．某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位：m)，某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3.
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y.
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，
则5－0.75＝4.25＜4.5.
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
10．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．
解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋eq \f(1,2)p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))
消去y，得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
所以x1＋x2＝3p，②
将②代入①，得p＝2.
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.
故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
[B级 综合运用]
11．过点(2，4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 可知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
12．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作斜率为eq \r(3)的直线，与抛物线在第一象限内交于点A.若|AF|＝4，则p＝( )
A．4 B．2
C．1 D.eq \r(3)
解析：选B 作AB⊥x轴，交x轴于点B.设A(x，y)，根据抛物线的定义知|AF|＝x＋eq \f(p,2)＝4.又在Rt△AFB中，∠AFB＝eq \f(π,3)，所以eq \f(x－\f(p,2),4)＝eq \f(1,2)，联立x＋eq \f(p,2)＝4，解得p＝2，故选B.
13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________．
解析：由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(yeq \\al(2,1)＝4x1，,yeq \\al(2,2)＝4x2，))且x1≠x2，
两式相减得，yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝1，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
答案：y2＝4x x－y＝0
14．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))))消去y得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.
于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，
所以点M到准线的距离为3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
[C级 拓展探究]
15．如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2eq \r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4)．
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小．
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2))).
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距eq \f(7,2) km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.