2021学年5.3 导数在研究函数中的应用练习题

这是一份2021学年5.3 导数在研究函数中的应用练习题，共5页。

1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(（sin x）′－（x2）′,x2)
D．(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
解析：选AD A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(（sin x）′x2－sin x（x2）′,（x2）2)，故错误；
D项中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正确．
2．函数f(x)＝excs x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B.eq \f(π,4)
C．1 D.eq \f(π,2)
解析：选B 对函数求导得f′(x)＝ex(cs x－sin x)，∴f′(0)＝1，∴函数f(x)＝excs x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为eq \f(π,4).
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C.eq \f(ln 2,2) D．ln 2
解析：选B ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
4．函数f(x)＝eq \f(x2,x＋3)的导数是( )
A.eq \f(x2＋6x,（x＋3）2) B.eq \f(x2＋6x,x＋3)
C.eq \f(－2x,（x＋3）2) D.eq \f(3x2＋6x,（x＋3）2)
解析：选A f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x＋3)))′＝eq \f(（x2）′（x＋3）－x2（x＋3）′,（x＋3）2)＝eq \f(2x（x＋3）－x2,（x＋3）2)＝eq \f(x2＋6x,（x＋3）2).
5．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D f′(x)＝a－eq \f(1,x＋1)，由题意得f′(0)＝2，
即a－1＝2，所以a＝3.
6．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·cs x＋sin x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________．
解析：∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，
得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
答案：eq \r(2)－1 1
7．已知f(x)＝eq \f(ex,x)，则f′(1)＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________．
解析：因为f′(x)＝eq \f(（ex）′x－ex（x）′,x2)＝eq \f(ex（x－1）,x2)(x≠0)．
所以f′(1)＝0.
由f′(x0)＋f(x0)＝0，得eq \f(e\a\vs4\al(x0)（x0－1）,xeq \\al(2,0))＋eq \f(e\a\vs4\al(x0),x0)＝0.
解得x0＝eq \f(1,2).
答案：0 eq \f(1,2)
8．已知函数f(x)＝ex·sin x，则f′(x)＝________，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是________．
解析：∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，
f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
答案：ex(sin x＋cs x) y＝x
9．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝eq \r(x)－ln x；(2)f(x)＝(x2＋1)(x－1)；
(3)f(x)＝eq \f(x2,sin x)；(4)f(x)＝eq \f(x＋3,x2＋3).
解：(1)f′(x)＝(eq \r(x)－ln x)′
＝(eq \r(x))′－(ln x)′＝eq \f(1,2\r(x))－eq \f(1,x).
(2)f′(x)＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)f′(x)＝eq \f(（x2）′·sin x－x2·（sin x）′,sin2x)
＝eq \f(2xsin x－x2cs x,sin2x).
(4)f′(x)＝eq \f(1·（x2＋3）－（x＋3）·2x,（x2＋3）2)
＝eq \f(－x2－6x＋3,（x2＋3）2).
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
[B级 综合运用]
11．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)＝( )
A．24 B．－24
C．10 D．－10
解析：选A ∵f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)·(x－4)(x－5)，
∴f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)]＋(x－1)·[(x－2)(x－3)·(x－4)(x－5)]′
＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，
∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故选A.
12．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)＞0，
整理得eq \f(（x＋1）（x－2）,x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.
13．曲线y＝eq \f(x,2x－1)在点(1，1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
解析：y′＝－eq \f(1,（2x－1）2)，则k＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2eq \r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2eq \r(2)－1.
答案：2eq \r(2)－1
14．设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)由7x－4y－12＝0得y＝eq \f(7,4)x－3.
当x＝2时，y＝eq \f(1,2)，∴f(2)＝eq \f(1,2)，①
又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
∴f′(2)＝eq \f(7,4)，②
由①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4).))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))
故f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,xeq \\al(2,0))))(x－x0)，
即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,xeq \\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0得y＝－eq \f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
[C级 拓展探究]
15．已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．
解：函数y＝x2＋2x的导数y′＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，xeq \\al(2,1)＋2x1)处的切线方程是y－(xeq \\al(2,1)＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－xeq \\al(2,1).①
函数y＝－x2＋a的导数y′＝－2x，曲线C2在点Q(x2，－xeq \\al(2,2)＋a)处的切线方程是y－(－xeq \\al(2,2)＋a)＝－2x2(x－x2)，
即y＝－2x2x＋xeq \\al(2,2)＋a.②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋1＝－x2，,－xeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋a，))
消去x2得方程：2xeq \\al(2,1)＋2x1＋1＋a＝0.
当判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0，即a＝－eq \f(1,2)时，解得x1＝x2＝－eq \f(1,2)，此时点P与点Q重合．
即当a＝－eq \f(1,2)时，C1与C2有且只有一条公切线，且公切线方程为y＝x－eq \f(1,4).