2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用随堂练习题

这是一份2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用随堂练习题，共5页。

1．(多选)以下运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x2) B．(cs x)′＝－sin x
C．(2x)′＝2xln 2 D．(lg x)′＝－eq \f(1,xln 10)
解析：选BC 对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，所以A不正确；对于B，因为(cs x)′＝－sin x，故B正确；对于C，因为(2x)′＝2xln 2，所以C正确；对于D，因为(lg x)′＝eq \f(1,xln 10)，所以D不正确．
2．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.eq \f(1,e)
解析：选A 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝e0＝1.
3．若f(x)＝sin x，f′(α)＝eq \f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(2,3)π D.eq \f(5,6)π
解析：选A ∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cs x.
又∵f′(α)＝cs α＝eq \f(1,2)，∴α＝2kπ±eq \f(π,3)(k∈Z)．
当k＝0时，α＝±eq \f(π,3)，∴可取α＝eq \f(π,3).
4．若函数f(x)＝cs x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选A f′(x)＝－sin x，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,4)＝0.
5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1，1) B．(－1，－1)
C．(1，1) D．(1，－1)
解析：选BC y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1，1)．
6．曲线y＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，∴曲线y＝ln x在点M(e，1)处的切线斜率为eq \f(1,e).
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
答案：eq \f(1,e) x－ey＝0
7．已知直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________．
解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，∴k＝eq \f(1,x0).
由题意知eq \f(1,x0)＝eq \f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝eq \f(1,2)×2＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
8．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 021(x)＝________．
解析：由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)＝f1(x)＝cs x.
答案：cs x
9．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝2；(2)f(x)＝eq \r(4,x3)；(3)f(x)＝10x；
(4)f(x)＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解：(1)∵f′(x)＝C′＝0，∴f′(x)＝2′＝0.
(2)∵f′(x)＝(xα)′＝α·xα－1，
∴f′(x)＝(eq \r(4,x3))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(3,4))))′＝eq \f(3,4)xeq \s\up6(eq \f(3,4)－1))＝eq \f(3,4)xeq \s\up6(－eq \f(1,4)))＝eq \f(3,4\r(4,x)) .
(3)∵f′(x)＝(ax)′＝ax·ln a，
∴f′(x)＝(10x)′＝10x·ln 10.
(4)∵f(x)＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，
∴f′(x)＝(cs x)′＝－sin x.
10．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设切点为M(x0，y0)，因为y′＝2x，
直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，
切线的斜率k＝1，
所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
与PQ平行的切线方程为：y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，即4x－4y－1＝0.
[B级 综合运用]
11．(多选)在曲线y＝eq \f(1,x)上切线的倾斜角为eq \f(3,4)π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))
解析：选AB 因为y＝eq \f(1,x)，所以y′＝－eq \f(1,x2)，因为切线的倾斜角为eq \f(3,4)π，所以切线斜率为－1，
即y′＝－eq \f(1,x2)＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点的坐标为(1，1)或(－1，－1)．
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. eq \f(1,n) B.eq \f(1,n＋1)
C.eq \f(n,n＋1) D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝eq \f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·xn＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,n＋1)， 故选B.
13．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________．
解析：如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．易知(ln x)′＝eq \f(1,x)，令eq \f(1,x)＝1，得x＝1，
故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为eq \f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq \r(2).
答案：(1，0) eq \r(2)
14．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
令f(x)＝eq \f(a2,x).
∵f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)))′＝－eq \f(a2,x2).
∴过点P的切线方程为y－y0＝－eq \f(a2,xeq \\al(2,0))·(x－x0)．
令x＝0，得y＝eq \f(2a2,x0)；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2a2,x0)))·|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
[C级 拓展探究]
15．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cs x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：不存在，理由如下：
因为y1＝sin x，y2＝cs x，
所以y1′＝cs x，y2′＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cs x0，k2＝－sin x0.
若两条切线互相垂直，则cs x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cs x0＝1，
所以sin 2x0＝2，显然不成立，
所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．