高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用综合训练题

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1.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选C 曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2)．因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.
2．设f(x)存在导函数，且满足eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1－2Δx）,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1－2Δx）,2Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1－2Δx）－f（1）,－2Δx)＝f′(1)＝－1.
3．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为eq \f(π,4)的是( )
A．(0，0) B．(1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)
解析：选BC 设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）－（xeq \\al(3,0)－2x0）,Δx)
＝3xeq \\al(2,0)－2＝tan eq \f(π,4)＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1，
当x0＝－1时，y0＝1.
4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(－1，－4) D．(－2，－12)
解析：选AC f′(x)＝ eq \f(（x＋Δx）3＋（x＋Δx）－2－（x3＋x－2）,Δx)
＝ eq \f(（3x2＋1）Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3,Δx)＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
5．过正弦曲线y＝sin x上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋Δx))－sin \f(π,2),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(cs Δx－1,Δx).
当Δx→0时，cs Δx→1，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________．
解析：∵f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝ax2＋2bx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x＋3，则a＝________，b＝________．
解析：根据导数定义可知，
f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a（x＋Δx）2＋2b（x＋Δx）－ax2－2bx,Δx)
＝2ax＋2b，
可得函数的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝2a＋2b＝4.
由切线方程为y＝4x＋3，可得f(1)＝a＋2b＝4＋3＝7，
所以a＝－3，b＝5.
答案：－3 5
8．设点P是曲线y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为________．
解析：设切点P(x0，y0)，y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(（x＋Δx）3－\r(3)（x＋Δx）－x3＋\r(3)x,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) [(Δx)2＋3xΔx＋3x2－eq \r(3)]＝3x2－eq \r(3)，而3x2－eq \r(3)≥－eq \r(3).又点P处的切线的倾斜角为α，则k＝tan α≥－eq \r(3).
又α∈[0，π)，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
9．在抛物线f(x)＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则f′(x0)＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝xeq \\al(2,0)＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则f′(x1)＝2x1＝－eq \f(1,4)，解得x1＝－eq \f(1,8)，
所以y1＝xeq \\al(2,1)＝eq \f(1,64)，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,64)))，经检验，符合题意．
故抛物线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,64)))处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）2＋3－（xeq \\al(3,0)－2xeq \\al(2,0)＋3）,Δx)
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3xeq \\al(2,0)－4x0.
∴eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝3xeq \\al(2,0)－4x0，即f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－4x0，
由导数的几何意义，得3xeq \\al(2,0)－4x0＝4，
解得x0＝－eq \f(2,3)或x0＝2.
∴切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2，3)，
当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，
有eq \f(49,27)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋a，∴a＝eq \f(121,27)，
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.
综上，当a＝eq \f(121,27)时，切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))；
当a＝－5时，切点为(2，3)．
[B级 综合运用]
11．已知直线ax－by－2＝0与曲线f(x)＝x3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则eq \f(a,b)为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选D ∵f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（1＋Δx）3－13,Δx)＝3，∴f(x)＝x3在点P(1，1)处的切线斜率k＝3，由条件知，3×eq \f(a,b)＝－1，∴eq \f(a,b)＝－eq \f(1,3).
12．已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋eq \f(2,x)的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________．
解析：由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，
因为f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,1＋Δx)))＝a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
答案：5 3
13．若点P是抛物线f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线f(x)＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，由导数的几何意义知f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝2x＝1，解得x＝eq \f(1,2)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq \f(7\r(2),8).
答案：eq \f(7\r(2),8)
14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
解：∵f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a（x＋Δx）2＋1－（ax2＋1）,Δx)＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（x＋Δx）3＋b（x＋Δx）－（x3＋bx）,Δx)
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，
∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3.))
[C级 拓展探究]
15．已知曲线f(x)＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(（x＋Δx）2＋1－x2－1,Δx)＝2x＋Δx，
∴f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝xeq \\al(2,0)＋1，
∴a－(xeq \\al(2,0)＋1)＝2x0(1－x0)，
即xeq \\al(2,0)－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．