数学选择性必修第一册4.2 等差数列课堂检测

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1．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．－1 B．3
C．5 D．7
解析：选AB 由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)×2＝35，②
由①②解得a1＝3或－1.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝1，则数列{an}的公差为( )
A.eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2)
C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
解析：选D 设数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝16，a6＝1，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S8＝8a1＋\f(8×7,2)d＝16，,a6＝a1＋5d＝1，))解得a1＝eq \f(13,3)，
d＝－eq \f(2,3)，故数列{an}的公差为－eq \f(2,3).
3．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于( )
A．10 B．15
C．20 D．30
解析：选C 因为Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝10n＋eq \f(1,2)n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，
解得n＝20或n＝－29(舍)．
4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于( )
A．18 B．20
C．22 D．24
解析：选B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
5．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选B 由S13＝eq \f(13（a1＋a13）,2)＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝________．
解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋eq \f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________．
解析：因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
答案：5
8．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．
解析：由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋eq \f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq \f(16,29).故该女子织布每天增加eq \f(16,29)尺．
答案：eq \f(16,29)
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝12，,d＝2，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋eq \f(n（n－1）,2)×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前n项和Tn.
解：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
∵S7＝7，S15＝75，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7a1＋21d＝7，,15a1＋105d＝75，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝1，,a1＋7d＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝1，))
∴eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝－2＋eq \f(n－1,2)，
∴eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝eq \f(1,2)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差数列，且其首项为－2，公差为eq \f(1,2).
∴Tn＝eq \f(1,4)n2－eq \f(9,4)n.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是( )
解析：选ABC 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．
12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则( )
A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C．S3＝S4 D．S4＝S5
解析：选BC 因为S7＝a4，所以7a1＋eq \f(7×6,2)d＝a1＋3d，
即a1＋3d＝0，所以a4＝0，故C正确，D错误；
又a3＋a5＝a1＋2d＋a1＋4d＝2(a1＋3d)＝0，所以B正确；而a1＋a3＝a1＋a1＋2d＝2a1＋2d≠0，故A不正确．
13．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前10项和为________．
解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝eq \f(n（3＋2n＋1）,2)＝n2＋2n，
所以eq \f(Sn,n)＝n＋2，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋eq \f(10×9,2)×1＝75.
答案：75
14．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝13n＋eq \f(n（n－1）,2)×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×eq \f(（13＋1）×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))
[C级 拓展探究]
15．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比它前一号盒子多放同样粒数的米．
(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
解：设编号为1～9的九个盒子中分别放a1，a2，a3，…，a9粒米，则数列{an}是一个等差数列．
(1)设等差数列{an}的公差为d，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S9＝351，,a1＝11，))即9a1＋eq \f(9×8,2)d＝351，
解得d＝7.
故后面的盒子比它前一号的盒子多放7粒米．
(2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S9＝351，,a3＝23，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9a1＋\f(9×8,2)d＝351，,a1＋2d＝23，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝7，,d＝8.))
故后面的盒子比它前一号的盒子多放8粒米．