2020-2021学年第5章 导数及其应用5.1 导数的概念课后作业题

这是一份2020-2021学年第5章 导数及其应用5.1 导数的概念课后作业题，共5页。
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：选C k＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(2（2＋Δx）2－8,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (8＋2Δx)＝8.
2．(多选)已知某物体运动的方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
解析：选ABD 该物体在1≤t≤3时的平均速度是eq \f(s（3）－s（1）,3－1)＝eq \f(71－15,2)＝28，A正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s（4＋Δt）－s（4）,Δt)
＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (56＋7Δt)＝56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s（5＋Δt）－s（5）,Δt)
＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (70＋7Δt)＝70，故D正确．
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (a＋b·Δx)＝a.
4．若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上可导，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（a＋2Δx）－f（a）,3Δx)＝1，则f′(a)＝( )
A.eq \f(2,3) B．2
C．3 D.eq \f(3,2)
解析：选D ∵eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（a＋2Δx）－f（a）,3Δx)＝1，
∴eq \f(2,3)eq \(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq \f(f（a＋2Δx）－f（a）,2Δx)＝1，
即eq \f(2,3)f′(a)＝1，则f′(a)＝eq \f(3,2).故选D.
5．一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝eq \f(1,2)t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
解析：选A ∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(\f(1,2)（2＋Δt）2－\f(1,2)×22,Δt)＝eq \f(1,2)Δt＋2，
∴f′(2)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)Δt＋2))＝2，故选A.
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
解析：∵f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a（1＋Δx）＋4－（a＋4）,Δx)＝a，∴a＝2.
答案：2
7．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．
解析：选C ∵Δs＝s(3＋Δt)－s(3)
＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－1＋3－32
＝(Δt)2＋5Δt，
∴eq \f(Δs,Δt)＝5＋Δt，
∴当t＝3时，瞬时速度是eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (5＋Δt)＝5(米/秒)．
答案：5
8．已知在函数y＝ax2＋b的图象上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．
解析：eq \(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq \f(a（1＋Δx）2＋b－a－b,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (aΔx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b＝1＋b，所以b＝2.
答案：1 2
9．某物体的运动方程为s(t)＝eq \f(1,\r(t))，求其在t0＝1时的瞬时速度．
解：s(1＋Δt)－s(1)＝eq \f(1,\r(1＋Δt))－1＝eq \f(1－\r(1＋Δt),\r(1＋Δt))＝eq \f(－Δt,\r(1＋Δt)（1＋\r(1＋Δt)）) ，
故eq \f(s（1＋Δt）－s（1）,Δt)＝eq \f(－1,\r(1＋Δt)（1＋\r(1＋Δt)）).
所以eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(－1,\r(1＋Δt)（1＋\r(1＋Δt)）)＝－eq \f(1,2)，
即物体在t0＝1时的瞬时速度为－eq \f(1,2).
10．已知函数y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))，x>0，,1＋x2，x≤0))求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－eq \f(1,\r(4＋Δx))＋eq \f(1,\r(4))
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,\r(4＋Δx))＝eq \f(\r(4＋Δx)－2,2\r(4＋Δx))
＝eq \f(Δx,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).
∴f′(4)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）)
＝eq \f(1,2×\r(4)×（\r(4)＋2）)＝eq \f(1,16).
当x＝－1时，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（－1＋Δx）－f（－1）,Δx)
＝eq \f(1＋（－1＋Δx）2－1－（－1）2,Δx)＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝eq \f(1,16)×(－2)＝－eq \f(1,8).
[B级 综合运用]
11．设f(x)是可导函数，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝2，则f′(x0)＝( )
A.eq \f(1,2) B．－1
C．0 D．－2
解析：选B 因为eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝
－2eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx）－f（x0）,－2Δx)＝－2f′(x0)＝2，
所以f′(x0)＝－1，故选B.
12．已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
解析：选D f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝－eq \f(2,x2)，于是有－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.
13．一物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(7（t0＋Δt）2＋8－（7teq \\al(2,0)＋8）,Δt)＝7Δt＋14t0，
当eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝eq \f(1,14).
答案：eq \f(1,14)
14．子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s(t)＝eq \f(1,2)at2，
∵Δs＝eq \f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)＝at0Δt＋eq \f(1,2)a(Δt)2，
∴eq \f(Δs,Δt)＝at0＋eq \f(1,2)aΔt，∴eq \(lim,\s\d4(Δt→0))eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(at0＋\f(1,2)aΔt))＝at0，
已知a＝5.0×105(m/s2)，t0＝1.6×10－3(s)，
∴at0＝800(m/s)．
∴子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
[C级 拓展探究]
15．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值：
(1) eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0－mΔx）－f（x0）,Δx)；
(2) eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋4Δx）－f（x0＋5Δx）,Δx).
解：(1) eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0－mΔx）－f（x0）,Δx)
＝－meq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0－mΔx）－f（x0）,－mΔx)＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋4Δx）－f（x0）－[f（x0＋5Δx）－f（x0）],Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋4Δx）－f（x0）,Δx)－eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋5Δx）－f（x0）,Δx)
＝4eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋4Δx）－f（x0）,4Δx)－5eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋5Δx）－f（x0）,5Δx)
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．