高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用课后作业题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用课后作业题，共6页。

1．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2，1)上，f(x)单调递增
B．在(1，2)上，f(x)单调递增
C．在(4，5)上，f(x)单调递增
D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增
解析：选BC 由题图知当x∈(1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在(1，2)，(4，5)上，f(x)是单调递增，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减．
2．函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(0，1) B．(0，1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A ∵y＝eq \f(1,2)x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴y′＝x－eq \f(1,x)，令y′<0，即x－eq \f(1,x)<0，
解得03．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
4．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cs x
解析：选AB 设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2)))eq \s\up12(x)在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,3)))eq \s\up12(x)在定义域R上是减函数，C不正确；
对于D，g(x)＝ex·cs x，则g′(x)＝eq \r(2)excseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确．
5．若f(x)＝eq \f(ln x,x)，eA．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析：选A 由f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)<0，解得x>e，
∴f(x)在(e，＋∞)上为减函数，
∵ef(b)．
6．已知函数f(x)＝kex－1－x＋eq \f(1,2)x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则k＝________，f(x)的单调递减区间为________．
解析：f′(x)＝kex－1－1＋x.
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．
答案：e (－∞，0)
7．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))，则实数m的值为________，函数f(x)的单调递增区间是________．
解析：f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－eq \f(3,2)，x2＝1，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝0，,f′（1）＝0，))
解得m＝－eq \f(3,2).
由f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)x－\f(3,2)))ex
＝eq \f(1,2)(x－1)(2x＋3)ex，
得f′(x)>0时，x<－eq \f(3,2)或x>1.
答案：－eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))，(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1，1)上单调递减，则a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
要使f(x)在(－1，1)上单调递减，
则f′(x)≤0在x∈(－1，1)上恒成立，
则3x2－a≤0，
故a≥3x2在x∈(－1，1)上恒成立，
在x∈(－1，1)上，3x2<3，即a≥3，
∴a的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
9．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
10．已知函数f(x)＝eq \f(ax－6,x2＋b)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
所以f′(－1)＝－eq \f(1,2)，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即eq \f(－a－6,1＋b)＝－2，①
又f′(x)＝eq \f(a（x2＋b）－2x（ax－6）,（x2＋b）2)，
所以eq \f(a（1＋b）＋2（－a－6）,（1＋b）2)＝－eq \f(1,2).②
由①②得a＝2，b＝3.(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝eq \f(2x－6,x2＋3).
(2)由(1)知，f′(x)＝eq \f(－2x2＋12x＋6,（x2＋3）2).
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2eq \r(3)，x2＝3＋2eq \r(3)，
则当x<3－2eq \r(3)或x>3＋2eq \r(3)时，f′(x)<0；当3－2eq \r(3)0.
∴f(x)＝eq \f(2x－6,x2＋3)的单调递增区间是(3－2eq \r(3)，3＋2eq \r(3))；单调递减区间是(－∞，3－2eq \r(3))和(3＋2eq \r(3)，＋∞)．
[B级 综合运用]
11．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)
C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)
解析：选ABD 由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(c，e)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，
所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e)．
12．已知函数f(x)＝eq \f(a（x－1）,x＋1)－ln x在[1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围为( )
A．a<1 B．a≤2
C．a<2 D．a≤3
解析：选B 因为f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
所以f′(x)＝eq \f(2a,（x＋1）2)－eq \f(1,x)≤0(x≥1)恒成立，
即2a≤eq \f(（x＋1）2,x)＝x＋eq \f(1,x)＋2(x≥1)恒成立，而y＝x＋eq \f(1,x)＋2≥4(当且仅当x＝1时，等号成立)，
所以只需2a≤4，解得a≤2.
经检验，当a＝2时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故选B.
13．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．
解析：当x<0时，[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
令F(x)＝f(x)g(x)，
则当x<0时，F(x)为增函数．
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
故当x>0时，F(x)仍为增函数．
根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的示意图．
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．
答案：(－∞，－3)∪(0，3)
14．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m＋\f(1,2)))上是单调函数，求实数m的取值范围．
解：(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，
把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－8，))
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)∵f′(x)＝eq \f(6,x)＋2x－8＝eq \f(2（x－1）（x－3）,x)(x>0)．
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(1，3)．
要使函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m＋\f(1,2)))上是单调函数，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1即实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)利用(1)的结论证明当x∈(1，＋∞)时ln x解：(1)∵f′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，
∴当x>1时，f′(x)<0；当00.
∴f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)证明：由(1)知f(x)＝ln x－x＋1在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)x
(0，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增