2020-2021学年2.3 圆与圆的位置关系课后作业题

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1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
解析：选C 法一(几何法)：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝eq \r(2)，则圆心比|C1C2|＝eq \r(（1－2）2＋（0＋1）2)＝eq \r(2)，r1＋r2＝2＋eq \r(2)，r1－r2＝2－eq \r(2)，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．
法二(代数法)：联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x－3＝0，,x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝－2，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝0，))即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．
2．(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
解析：选CD 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则eq \r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则eq \r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
3．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．内切 B．相交
C．外离 D．外切
解析：选CD 两圆的圆心距为d＝eq \r(（1－0）2＋（－3－0）2)＝eq \r(10)，两圆的半径之和为r＋4，
因为eq \r(10)所以两圆不可能外切或外离，故选C、D.
4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．8eq \r(2)
解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，则a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝eq \r(（a－b）2＋（a－b）2)＝eq \r(32×2)＝8.
5．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>121
C．1≤m≤121 D．1解析：选C 圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0，0)，半径r1＝eq \r(m)；圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3，4)，半径r2＝6.
∵圆C1与圆C2有公共点，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，即|eq \r(m)－6|≤eq \r(（－3－0）2＋（4－0）2)≤eq \r(m)＋6，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|\r(m)－6|≤5，,\r(m)＋6≥5，))解得1≤m≤121.
6．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为________．
解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有eq \r(（－2－m）2＋（m＋1）2)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
答案：2或－5
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq \r(3)，则a＝________．
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝eq \f(1,a)，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知eq \f(1,a)＝ eq \r(22－（\r(3)）2)＝1⇒a＝1.
答案：1
8．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝eq \f(1,3)，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
9．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－eq \r(3))的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6.))
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq \r(3))2＝36.
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，
圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1，0)，半径长为r2＝1，
两圆的圆心距d＝ eq \r(（1＋1）2＋（－2－0）2)＝2eq \r(2)，
又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．
(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：
圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝eq \r(（m＋1）2＋（－2－0）2)＜3－1，
即(m＋1)2＜0，此不等式无解．
故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．
[B级 综合运用]
11．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3，1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝eq \r([1－（－3）]2＋[（－2）－1]2)＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.
12．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8
解析：选C 由题意联立两圆方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，则eq \f(E,4)＝－1，eq \f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.
13．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．req \r(5)＋1
C．|r－eq \r(5)|<1 D．|r－eq \r(5)|≤1
解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为eq \r(（－1）2＋22)＝eq \r(5).∵两圆有公共点，∴|r－1|≤eq \r(5)≤r＋1，∴eq \r(5)－1≤r≤eq \r(5)＋1，即－1≤r－eq \r(5)≤1，∴|r－eq \r(5)|≤1.
14．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝ eq \r(（0－2）2＋（－1－1）2)－2＝2(eq \r(2)－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2).
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req \\al(2,3)，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋req \\al(2,3)－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为eq \f(|0－4＋req \\al(2,3)－8|,\r(42＋42))＝eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2)，解得req \\al(2,3)＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
[C级 拓展探究]
15．某同学在完成作业时发现了一个现象：求得的公共弦AB(即两个圆相交时，两个交点的连线)所在直线的方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项x2，y2后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于两个圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0就是两个圆的公共弦所在直线的方程．你认为他的猜想对吗？请说明理由．
解：他的猜想正确，证明如下：
设两圆的交点坐标为(x0，y0)，则
xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，且xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.
两式相减得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋F1－F2＝0，
所以点(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上，
又因为过两个交点得直线有且只有一条，
所以过交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.