高中数学3.1 椭圆综合训练题

这是一份高中数学3.1 椭圆综合训练题，共6页。
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D．(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))
解析：选D ∵椭圆方程化为标准式为eq \f(y2,6)＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))．
2．(多选)已知椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值可以为( )
A．4 B.eq \r(34)
C．6 D.eq \r(33)
解析：选AB ∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq \r(34).综上可知，实数m的值为4或eq \r(34).
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4eq \r(5)，0)的椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
解析：选D 由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1可知，所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A、C不正确；再将点(4eq \r(5)，0)分别代入B、D检验可知，只有D选项符合题意．
4．(多选)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25 B．b2＝9
C．a2＝21 D．b2＝16
解析：选AB 因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
5．已知椭圆E：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
解析：选C 不妨设点B在第一象限，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)，b))，由题意知OB的倾斜角是60°，所以eq \f(b,\f(bc,a))＝eq \f(a,c)＝eq \r(3)，则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).故选C.
6．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________，焦点坐标为________．
解析：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
∴a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
∴焦点坐标为(0，±eq \r(3))．
答案：eq \f(1,4) (0，±eq \r(3))
7．已知椭圆的一个顶点是(0，eq \r(3))，且离心率e＝eq \f(\r(3),2)，则椭圆的标准方程是________．
解析：∵eq \f(b,a)＝eq \r(1－e2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝eq \r(3)，a＝2eq \r(3)；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝eq \r(3)，b＝eq \f(\r(3),2).
∴椭圆的标准方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,\f(3,4))＝1.
答案：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,\f(3,4))＝1
8.如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________．
解析：法一：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则kAB＝－eq \f(b,a)，
∵OP∥AB，∴直线OP的方程为y＝－eq \f(b,a)x.
又PF⊥x轴，∴P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(bc,a))).
而点P也在椭圆上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,a2)＝1.∴2e2＝1，∴e＝eq \f(\r(2),2).
法二：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F(－c，0)．
∵P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，∴易得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a))).
又OP∥AB，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，
∴eq \f(|PF|,|BO|)＝eq \f(|OF|,|AO|)，即eq \f(\f(b2,a),b)＝eq \f(c,a)，即eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)，
∴b＝c，∴a＝eq \r(2)c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9．求经过点M(1，2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m，近地点与地球表面的距离为n，设地球的半径为r，试用m，n，r表示出地球同步转移轨道的离心率．
解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，依意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－c＝n＋r，,a＋c＝m＋r，))
解得a＝eq \f(n＋m＋2r,2)，c＝eq \f(m－n,2)，因此离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(m－n,n＋m＋2r).
[B级 综合运用]
11．(多选)若椭圆x2＋my2＝1的离心率为eq \f(\r(3),2)，则m的值可以为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：选AD 化为标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，
则有m>0且m≠1.
当eq \f(1,m)1时，a2＝1，b2＝eq \f(1,m)，
依题意有 eq \f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq \f(\r(3),2)，
解得m＝4，满足m>1；
当eq \f(1,m)>1，即0