苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系课后复习题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系课后复习题，共5页。

1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×（－1）＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(11,5)，02．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．－515
C．m<4或m>13 D．4解析：选B 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离eq \f(|3－8＋m|,\r(9＋16))>2，
∴m<－5或m>15.故选B.
3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为( )
A．0 B．4
C．－2 D.eq \r(3)
解析：选AB 由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2eq \r(2)，所以圆心到直线的距离d＝ eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2).又d＝eq \f(|a－2|,\r(2))，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2eq \r(2)
C.eq \r(7) D．3
解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离为d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq \r(2)，圆的半径为1，所以切线长的最小值为eq \r(d2－r2)＝eq \r(8－1)＝eq \r(7)，故选C.
5．(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＝0 D．x＋y＝4
解析：选ABD 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，解得k＝±1，
∴选项A、B正确．
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则eq \f(|2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)．∴选项D正确，故选A、B、D.
6．若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________．
解析：圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)，半径等于1.
由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得eq \f(|3k－0|,\r(k2＋1))＝1，求得k＝－eq \f(\r(2),4).
答案：－eq \f(\r(2),4)
7．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为eq \f(|a＋a－2|,\r(a2＋1)).
∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝|BC|＝2.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))))eq \s\up12(2)＋12＝22，解得a＝4±eq \r(15).
答案：4±eq \r(15)
8．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝eq \f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq \r(2)，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
9．已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0.
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
解：(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，eq \r(2)为半径的圆如图①.
(2)因为圆心P到直线m的距离d＝eq \f(|3＋4－2|,\r(32＋42))＝1所以由勾股定理，得|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2.
故直线m被圆P截得的弦长为2.
10．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0，即－eq \f(4,3)法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)) .
(1)当d<2，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2，即－eq \f(4,3)[B级 综合运用]
11．(多选)直线l：x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切或相离
C．相交 D．相切
解析：选CD l过定点A(1，1)，又点A在圆上，∴l与圆相交或相切，故选C、D.
12．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C．π D.eq \f(3π,2)
解析：选C 圆心到直线的距离d＝eq \f(|0＋0－5|,\r(1＋49))＝eq \f(\r(2),2).又圆的半径r＝1，∴直线x＋7y－5＝0被圆x2＋y2＝1截得的弦长为eq \r(2)，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的eq \f(1,4)，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即eq \f(1,2)×2πr＝π.
13．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则|AC|＝________，|BD|＝________．
解析：圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2eq \r(10)，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，
设点F为其圆心，坐标为(1，3)．
故|EF|＝eq \r(5)，∴|BD|＝2eq \r(10－（\r(5)）2)＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(10) 2eq \r(5)
14.如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2eq \r(19)时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝eq \f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq \r(5).
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，
易得|MN|＝2eq \r(19)，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
取MN的中点Q，连接AQ(图略)，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2eq \r(19)，∴|AQ|＝eq \r(20－19)＝1，
∴eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)，
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
[C级 拓展探究]
15．已知曲线C：y＝1＋eq \r(4－x2)，直线l：y＝k(x－2)＋4.
(1)试探究曲线C的形状；
(2)若直线l与曲线C有两个公共点，求k的取值范围．
解：(1)因为y＝1＋eq \r(4－x2)(－2≤x≤2，y≥1)，
所以y－1＝eq \r(4－x2)即x2＋(y－1)2＝4，
故曲线C是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆，如图所示．
(2)直线y＝k(x－2)＋4恒过定点A(2，4)，
当直线l与半圆相切，C为切点时，
圆心到直线l的距离d＝r，
即eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(5,12).
当直线l过点B(－2，1)时，直线l的斜率k＝eq \f(4－1,2－（－2）)＝eq \f(3,4)，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，
实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4))).