高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.3 综合应用课后复习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.3 综合应用课后复习题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
B [由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒2|a|·|b|·cs θ＝－|a|2⇒cs θ＝－ eq \f(1,2)⇒θ＝120°.]
2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
B [因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.]
3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( )
A．16 B．256 C．8 D．64
A [法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.
法二：由题意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.]
4．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A．e1在e2方向上的投影数量为cs θ
B．e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＝e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))
C．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D．e1·e2＝1
ABC [因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，
则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影数量为|e1|cs θ ＝cs θ，故A正确；
e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＝e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝1，故B正确；
(e1＋e2)·(e1－e2)＝e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))－e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝0，
故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cs θ＝cs θ，故D错误．]
5．设向量a，b满足|a＋b|＝ eq \r(10)，|a－b|＝ eq \r(6)，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
A [∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.]
二、填空题
6．已知在△ABC中，AB＝AC＝4， eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝8，则△ABC的形状是________．
等边三角形 [ eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝| eq \(AB,\s\up8(→))|| eq \(AC,\s\up8(→))|cs ∠BAC，
即8＝4×4cs ∠BAC，于是cs ∠BAC＝ eq \f(1,2)，
因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]
7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________．
eq \f(3,2) [∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝ eq \f(3,2).]
8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cs ∠BAC＝ eq \f(1,2)， eq \(DC,\s\up8(→))＝2 eq \(BD,\s\up8(→))，则 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝________．
－ eq \f(3,2) [根据条件：
eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(BD,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→)))
＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up8(→))；
所以 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(BC,\s\up8(→))＝( eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up8(→)))·( eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→)))
＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up8(→))2＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up8(→))2
＝ eq \f(1,3)×3×3× eq \f(1,2)－ eq \f(2,3)×9＋ eq \f(1,3)×9＝－ eq \f(3,2).]
三、解答题
9．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为 eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.
[解] a·b＝|a||b|cs eq \f(π,3)＝5×5× eq \f(1,2)＝ eq \f(25,2).
|a＋b|＝ eq \r(（a＋b）2)＝ eq \r(|a|2＋2a·b＋|b|2)
＝ eq \r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5 eq \r(3).
|a－b|＝ eq \r(（a－b）2)＝ eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)
＝ eq \r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.
10．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
[解] ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cs 60°＝1×1× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2).
|a|＝|2m＋n|＝ eq \r(（2m＋n）2)＝ eq \r(4×1＋1＋4m·n)
＝ eq \r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝ eq \r(7)，
|b|＝|2n－3m|＝ eq \r(（2n－3m）2)
＝ eq \r(4×1＋9×1－12m·n)
＝ eq \r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝ eq \r(7)，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝ eq \f(1,2)－6×1＋2×1＝－ eq \f(7,2).
设a与b的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－ eq \f(1,2).
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ eq \f(2π,3)，故a与b的夹角为 eq \f(2π,3).