北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素综合训练题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素综合训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1. 下面多面体中，是棱柱的有( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [根据棱柱的定义进行判定知，这4个图形都满足．]
2. 有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错
B [由棱锥的结构特征可得．]
3. 如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A.①③ B．②④ C．③④ D．①②
C [可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．故选C.]
4.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
C [根据棱台是由棱锥截成的，可知棱台上底面与下底面的对应边成比例进行判断．选项A中 eq \f(A1B1,AB)≠ eq \f(B1C1,BC)，故A不正确；选项B中 eq \f(B1C1,BC)≠ eq \f(A1C1,AC)，故B不正确；选项C中 eq \f(A1B1,AB)＝ eq \f(B1C1,BC)＝ eq \f(A1C1,AC)，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.]
5．下列命题中正确的个数是( )
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
A [①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个面是多边形，其余各面是具有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以选A.]
二、填空题
6．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).
① ② ③
④ ⑤ ⑥
①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
5 6 9 [面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．]
8．对棱柱而言，下列说法正确的是________．(填序号)
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫作侧棱．
①③ [①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．]
三、解答题
9.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
[解] (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝ eq \f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝ eq \f(1,2)×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－ eq \f(1,2)a2－a2－a2＝ eq \f(3,2)a2.
10.如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1．
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
[解] (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
(2)是棱柱，截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M­CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1­DCND1.
11.如果一个四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，其中四条侧棱称为它的腰，以下说法中，错误的是( )
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥都是正四棱锥
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
B [如图所示，因为等腰四棱锥的侧棱均相等，所以侧棱在底面的投影也相等，由全等三角形可知腰与底面所成的角相等，即选项A正确．易知底面四边形必有一个外接圆，即选项C正确．在高线上定能找到一点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，所以选项D正确．]
12.(多选题)如图，往透明塑料制成的长方体ABCD­A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法，其中，正确的说法是( )
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．
A．①② B．① C．①②③ D．③
BD [显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE­DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以三个命题中①③正确．故选BD.]
13．下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
①② [①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
14．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．
eq \r(29) [设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝12，,bc＝6，,ac＝8，))
∴abc＝24.分别除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.
∴体对角线长为 eq \r(42＋32＋22)＝ eq \r(29).]
15.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
[解] 将三棱锥沿侧棱VA展开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，
∴AA1＝4 eq \r(2).
∴△AEF周长的最小值为4 eq \r(2).